Цели корени- руска задача

[ganka simeonova]

Да се намерят всички цели корени на уравнението

[tex]cos(\frac{\pi }{10 } (3x-\sqrt{9x^2+80x-40} ))=1[/tex]

[mkmarinov]

Рационални - колкото искаш. Цели май няма.

[ganka simeonova]

Рационални - колкото искаш. Цели май няма.

Има .

[mkmarinov]

Права си. 14, 22 със сигурност са корени. Би трябвало да има и други.

[Xixibg]

[tex]x=-13[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Аз стигнах до там,че ако има такива цели Хиксита,които са решения те са отрицателни ... ама първо може да не е вярно и второ не ми помага особено много

[Xixibg]

Отрицателни са помага ...........

[ganka simeonova]

Корените са два и са отрицателни. Единият наистина е (-13).
Единствено ще помоля за цялостно решение, не само за отговор. В днешната ера на техника, отговорите не са проблем
Харесва ли ви задачата?

[mkmarinov]

Правописна грешка в предното ми решение. Ето цяло решение.
От тригонометричното уравнение директно следва (еквивалентно преобразувание)
[tex]\frac{\pi}{10}(3x-\sqrt{9x^2+80x-40})=2k\pi[/tex]
[tex]3x-\sqrt{9x^2+80x-40}=20k[/tex]
Умножаваме със спрегнат израз и получаваме
[tex]40-80x=20k(3x+\sqrt{9x^2+80x-40)[/tex], откъдето
[tex]3x+\sqrt{9x^2+80x-40}=\frac{2-4x}{k}[/tex]. Събираме с по-горния ред на уравнението:
[tex]6kx=20k^2+2-4x[/tex], откъдето
[tex]x=\frac{10k^2+1}{3k+2}[/tex]. Очевидно k е нечетно, [tex]k=2r+1[/tex]:
[tex]x=\frac{40r^2+40r+11}{6r+5}=\frac{36r^2+60r+25+4r^2-20r-14}{6r+5}=6r+5+\frac{4r^2-20r-14}{6r+5}=\\=6r+5+\frac{4r^2+16r+16-36r-30}{6r+5}=6r-1+4\frac{(r+2)^2}{6r+5}[/tex]
Искаме [tex]\frac{(r+2)^2}{6r+5}=s[/tex] за някое цяло число s.
[tex]r^2+4r+4=6sr+5s[/tex]
[tex]r^2-(6s-4)r+4-5s=0[/tex]
[tex]D=9s^2-7s=s(9s-7)[/tex]

0) При s=0, r=-2: x=-13.

1) Ако модулът на s е точен квадрат, модулът на 9s също ще е точен квадрат, но за да бъде дискриминантата точен квадрат трябва [tex]|9s-7|[/tex] също да е точен квадрат - т.е. търсим 2 точни квадрата, които се различават със 7. 9 и 16 очевидно са единствените, които изпълняват това и оттам [tex]s=-1[/tex] е решение. Връщайки се в полагането, получаваме за x решенията [tex]-11,-59[/tex].

2) Нито |s|, нито |9s-7| са точни квадрати. Искаме да имат общ множител, различен от 1 - очевидно е 7. Тогава [tex]s=7q[/tex]:
[tex]D=49q(9q-1)[/tex]
По разсъждения, подобни на горните, заключваме, че q не е точен квадрат. Но (q,9q-1)=1, откъдето този случай не ни носи решения.

Окончателно решения на уравнението са [tex]x_1=-11, x_2=-13, x_3=-59[/tex].

Последен edit: няма да редактирам това мнение повече .

[ganka simeonova]

Окончателно решения на уравнението са [tex]x_1=-11, x_2=-13, x_3=-59[/tex].

Последен edit: няма да редактирам това мнение повече .

Я провери, (-11) дали е решение

[mkmarinov]

[tex]3.(-11)-\sqrt{9.121-80.11-40}=-33-13=-46[/tex], което почти се дели на 20.

Не знам откъде съм го пропуснал.

Мда, умножаване със спрегнатото не е еквивалентно преобразувание.

[ganka simeonova]

Иначе, браво за решението:) Аз лично повдигам на втора в един момент, но разсъжденията са аналогични.

[ptj]

Мнението е коригирано по-долу.

[ptj]

От тригонометричното уравнение директно следва (еквивалентно преобразувание)
[tex]\frac{\pi}{10}(3x-\sqrt{9x^2+80x-40})=2k\pi[/tex]
[tex]3x-\sqrt{9x^2+80x-40}=20k[/tex]
[tex]9x^2-120kx+400k^2=9x^2+80x-40[/tex], (Деф.мн. [tex]x>\frac{20k}{3 }[/tex])
[tex](3k+2)x=10k^2+1[/tex]
[tex]x=\frac{10k^2+1}{3k+2 }=\frac{k^2+(3k+2)3k -2(3k+2)+5}{3k-2 }=3k-2+\frac{k^2+5}{3k+2 }[/tex]

От последното следва,че [tex]x[/tex] е цяло когато [tex]a=\frac{k^2+5}{3k+2 }[/tex] e цяло.



[tex]k^2-3ak+5-2a=0[/tex]

[tex]k_{1,2}=\frac{3a\pm\sqrt{9a^2-8a+20} }{2 }[/tex]

[tex]9a^2-8a+20=(\frac{9a-4}{3 })^2-\frac{176}{9 }=\frac{1}{ 9}\left((9a-4)^2-16.11\right)[/tex]

Нека [tex](9a-4)^2-16.11=b^2[/tex], тогава
[tex](9a+b+4)(9a-b+4)=16.11[/tex]

Последното води до краен брой системи с целочислени решения , а след това ще трябва да проверим дали всяко от тях съответства на цяло [tex]k[/tex] принадлежащо на дефициноционната област...

П.П. Малко е дългичко, но ще изчерпа всички възможни решения. Иначе http://www.wolframalpha.com дава 3 целочислени решения (спрямо [tex]x=\frac{10k^2+1}{3k+2 }[/tex]):
[tex]k=-1[/tex] => [tex]x=-11[/tex],
[tex]k=-3[/tex] =>[tex]x=-13[/tex],
[tex]k=-17[/tex] =>[tex]x=-59[/tex],

[Xixibg]

От тригонометричното уравнение директно следва (еквивалентно преобразувание)
[tex]\frac{\pi}{10}(3x-\sqrt{9x^2+80x-40})=2k\pi[/tex]
[tex]3x-\sqrt{9x^2+80x-40}=20k[/tex]
[tex]9x^2-120kx-400k^2=9x^2+80x-40[/tex], (Деф.мн. [tex]x>\frac{20k}{3 }[/tex])
[tex](3k-2)x=10k^2-1[/tex]
[tex]x=\frac{10k^2-1}{3k-2 }=\frac{k^2+(3k-2)k +2(3k-2)+3}{3k-2 }=k+2+\frac{k^2+3}{3k-2 }[/tex]

От последното следва, че [tex]x[/tex] e цяло когато [tex]a=\frac{k^2+3}{3k-2 }[/tex] е цяло.

[tex]k^2-3ak+2a+3=0[/tex]

[tex]k_{1,2}=\frac{3a\pm\sqrt{9a^2-8a-12} }{2 }[/tex]

[tex]9a^2-8a-12=(\frac{9a-4}{3 })^2-\frac{124}{9 }=\frac{1}{ 9}\left((4a-3)^2-4.31\right)[/tex]

Нека [tex](4a-3)^2-4.31=b^2[/tex], тогава
[tex](4a+b-3)(4a-b+3)=4.31[/tex]

Последното води до краен брой системи с целочислени решения , а след това ще трябва да проверим дали всяко от тях съответства на цяло [tex]k[/tex] принадлежащо на дефициноционната област...

П.П. Малко е дългичко, но ще изчерпа всички възможни решения.

Имаш грешки в сметките:
[tex]x=\frac{10k^2+1}{3k+2}[/tex]

[ganka simeonova]

Ето и моето решение.
[tex]30x-20k=\sqrt{9x^2+80x-40} =>2x+3xk=1+10k^2=>x(2+3k)=1+10k^2[/tex]
Тогава с малко деление, умножение, прибавяне и изваждане=> [tex]x(2+3k)=\frac{10}{9 } (3k+2)(3k-2)+\frac{49}{9 }[/tex]=>

[tex](2+3k)(9x-30k+20)=49[/tex] Искаме х и к да са цели=>(2+3к)-цяло=>дели 49=>
[tex]2+3k=\pm 1; \pm 7;\pm 49[/tex]. С непосредствена проверка=>[tex]k=-3; k=-17[/tex]. Заместване и с проверка установяваме, че при тези стойности се получават целите стойности за х, а именно -13 и -59.

[ptj]

Браво и аз се стремях към същото, но не сетих как да представя [tex]10k^2+1[/tex].

[ganka simeonova]

ptj, но все пак (-11) не е решение.

[ptj]

Да, не проверих дефиниционната област.

[mkmarinov]

[tex]x=\frac{10k^2+1}{3k+2 }=\frac{k^2+(3k+2)3k -2(3k+2)+5}{3k-2 }=3k-2+\frac{k^2+5}{3k+2 }[/tex]

Оттук можем директно да изпозлваме, че трябва едновременно и [tex]x=\frac{10k^2+1}{3k+2}[/tex], и [tex]r=\frac{k^2+5}{3k+2}[/tex] да са цели, откъдето [tex]x-10r=\frac{10k^2+1-10k^2-50}{3k+2}=-\frac{49}{3k+2}[/tex] е цяло => директно излиза, че [tex]3k+2/49[/tex]. Което спестява малко лутане в теорията на числата .