Неравенства със sin

[dim]

Да се докаже, че за всяко естествено число [tex]n[/tex] са в сила неравенствата:

а) [tex]\frac{|\sin{n}|}{n}+\frac{|\sin{(n+1)}|}{n+1}+...+\frac{|\sin{(3n-1)}|}{3n-1}>\frac{1}{9}[/tex]

б) [tex]\frac{|\sin{n}|}{n}+\frac{|\sin{(n+1)}|}{n+1}+...+\frac{|\sin{2n}|}{2n}>\frac{1}{6}[/tex]

[mkmarinov]

Индукция ftw!

[dim]

Ами напвави я тогава де ! То сигурно за почти всяка задача, в която има естествено [tex]n[/tex] може да се каже това...

[mkmarinov]

Ако не беше съвършено просто доказателство, щях и преди да го направя.
[tex]\frac{|sin1|}{1}=|sin1|>|\sin\frac{\pi}{4}|>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{9}[/tex]
Ясно е, че като се добавят положителни събираеми сборът ще става все по-голям.

Вече - ако се търси сходимост и граница на реда - задачата става интересна.

[martin123456]

това не е вярно, дето си написал

[pipi langstrump]

Ако не беше съвършено просто доказателство, щях и преди да го направя.
[tex]\frac{|sin1|}{1}=|sin1|>|\sin\frac{\pi}{4}|>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{9}[/tex]
Ясно е, че като се добавят положителни събираеми сборът ще става все по-голям.

Вече - ако се търси сходимост и граница на реда - задачата става интересна.

"Доказа" го за случая n = 1 . А за останалите?

[Станислав]

Ако не беше съвършено просто доказателство, щях и преди да го направя.
[tex]\frac{|sin1|}{1}=|sin1|>|\sin\frac{\pi}{4}|>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{9}[/tex]
Ясно е, че като се добавят положителни събираеми сборът ще става все по-голям.

Вече - ако се търси сходимост и граница на реда - задачата става интересна.

Ako ne beshe i suvursheno prost - mojeshe i da razberesh, che tova ne e nikakvo reshenie ;]
P.S Kajete ot kude da si svalq fonetika na bg, che da prestana na da pisha taka

[dim]

Пробвай с това: http://creaper.hit.bg/BGPhonetic/
А ако си с Vista или седмица би трябвало да го имаш интегриран към системата.
Дано съм бил полезен.

[Станислав]

Да, всъщност не знаех, че го има интегрирано в 7цата

[Makelov]

б) Очевидно работим в радиани.
Нека |sinx|=f(x)
Ще покажем че както и да изберем три последователни естествени числа а, а+1, а+2, ще е в сила f(a)+f(a+1)+f(a+2)>2sin1 (*)
Ясно е, че между всеки две цели положителни кратни на пи има или 3 или 4 естествени числа ( 3 < пи < 4 се доказва лесно ; това че пи е ирационално използваме наготово...). Нека едно естествено с наричаме голямо, ако то е средното от тези числа (ако са 3) или едно от двете средни (ако са четири). Другите естествени числа ще наричаме малки.
1)Първо, ясно е, че f(c) > sin1 за всяко голямо с.
2)Нататък, ако с е малко, то очевидно точно едно от с-1 и с+1 също е малко, т.е. малките числа вървят по двойки, като между тях има кратно на пи.
Оттук и следните възможности за трите числа а, а+1 и а+2:
-две са големи и едно е малко. Тогава (*) е очевидно вярно.
-две са малки и едно е голямо, като малките са последователни. Тогава между тях има кратно на пи, и ако те са например а и а+1, f(a) + f(a+1) = sinx + sin(1-x), където x е минималното такова, че а + х е кратно на пи. Понеже синус е вдлъбната функция в интервала [0, ?], при раздалечаване на аргументите горната сума намалява. Следователно тя е по-голяма от sin0 + sin1 = sin1. От това и от 1) следва (*) в този случай.
- две са малки и едно е голямо, голямото е а+1. Нека х е минималното такова, че а-х е кратно на пи. Тогава f(a) + f(a+2) = sinx + sin(?-2-x). Раздалечаваме отново и sinx + sin(?-2-x)>sin0+sin(?-2)>sin1, понеже ?/2 >?-2>1. Това заедно с 1) доказва (*).
И така имаме [tex]\sum_{i=n}^{ i=2n} \frac{f(i)}{i } >\sum_{i=n}^{ i=2n} \frac{f(i)}{2n } =\frac{1}{2n } \sum_{i=n}^{ i=2n} f(i)>\frac{1}{n }[\frac{n+1}{3 }]sin1\ge \frac{1}{n }\frac{n-1}{3 }sin1[/tex].
Достатъчно е да покажем [tex]\frac{1}{n }\frac{n-1}{3 }sin1 > 1/6 <=> n > \frac{2sin1}{2sin1-1 }[/tex],
което е вярно за n>2 (понеже sin1>3/4). За n=1,2 си го проверяваме директно, че е вярно.

[dim]

Не съм задълбавал, но ми изглежда правилно решението ти. Можеш ли по тоя начин да решиш а) ?

[Makelov]

Ясно е, че като се добавят положителни събираеми сборът ще става все по-голям.

[tex]\sum_{i=n}^{3n-1 } \frac{|sini|}{i } \ge \sum_{i=n}^{2n } \frac{|sini|}{i } > 1/6 >1/9[/tex]
Затова писах само б.
Между другото, за а) стига само очевидното f(a) + f(a+1) + f(a+2) >sin1