Екстремална

[strangerforever]

За [tex]0 < x < \frac{\pi}{4}[/tex] да се докаже [tex](sinx)^{sinx} < (cosx)^{cosx}[/tex]

[drago]

@strangerforever: Ако знаеш решението, драсни го!

[drago]

Логаритмуваме двете страни, даденото неравенство е еквивалентно на:
(1) [tex]\cos x \ln(\cos x) > \sin x \ln(\sin x),\, x \in (0, \frac{\pi}{4})[/tex].
Да разгледаме функцията [tex]f(u)= u ln u[/tex]. Тя не е дефинирана за [tex]u=0[/tex], но можем да считаме, че [tex]f(0)=0[/tex]. f е намаляваща от 0 до [tex]e^{-1}[/tex] и растяща от [tex]e^{-1}[/tex] до 1.
1сл. [tex]x \in [\arcsin \,e^{-1}, \, \frac{\pi}{4})[/tex] . Тогава [tex]e^{-1} \leq sin x < cos x[/tex] и (1) е изпълнено.

2 сл. [tex]x \in (0, \arcsin \, e^{-1})[/tex].
Имаме [tex]1-\cos x < \sin x[/tex] в този интервал и [tex]1- \cos x < 1-\cos(\arcsin \,e^{-1} ) < 1- \cos \frac{\pi}{6} < e^{-2}[/tex].

Нека положим [tex]u = 1-\cos x \Rightarrow u \in (0,e^{-2})[/tex].
Тъй като

[tex]u \ln u > \sin x \,\ln(\sin x)[/tex], така че, за да докажем (1) е достатъчно да докажем:

(2) [tex](1-u) \ln(1-u) > u \ln u, \, u \in (0, e^{-2})[/tex]
Представяме:
[tex]f(u) = \int_0^u f^'(t) \, dt[/tex], [tex]f(1-u) = - \int_{1-u}^1 f^'(t) \, dt[/tex].
Oстава да видим, че [tex]f^'(t) = 1+ \ln t[/tex] и [tex]f^'(t) < - f^'(1-u + t) ,\, t \in (0,u],\, u \in (0,e^{-2})[/tex].

[inveidar]

zadsincos.JPG (45.78 KiB) Прегледано 241 пъти

Nice,a?!

[drago]

Откъде е тази извадка ?

[inveidar]

103 тригонометрични задачи. Виж тук - http://estoyanov.net/?page_id=671!

[drago]

103 тригонометрични задачи. Виж тук - http://estoyanov.net/?page_id=671!

Благодаря!