Вечерна тригонометрия

[ins-]

Ако числата [tex]a_1, a_2, ..., a_n[/tex] образуват аритметична прогресия - да се пресметне сумата:
[tex]\sum_{i=1}^{n-1 } \frac{1}{cos a_i cos a_{i+1}}[/tex].

[Mr.G{}{}Fy]

Извинявам се,за тъпия въпрос,но коя сума трябва да се намери [tex]\frac{1}{cosa_1.cosa_2 } + \frac{1}{cosa_2.cosa_3 } + ...[/tex] или [tex]\frac{1}{cosa_1.cosa_2 } + \frac{1}{cosa_3.cosa_4 } + ...[/tex] ... Мисля,че е първото,но не съм сигурен.

[strangerforever]

Извинявам се,за тъпия въпрос,но коя сума трябва да се намери [tex]\frac{1}{cosa_1.cosa_2 } + \frac{1}{cosa_2.cosa_3 } + ...[/tex] или [tex]\frac{1}{cosa_1.cosa_2 } + \frac{1}{cosa_3.cosa_4 } + ...[/tex] ... Мисля,че е първото,но не съм сигурен.

Естествено, че първото. "i" обхожда естествени числа до n-1, няма как да прескочи 2.

[ins-]

Скрит текст: покажи

http://www.tanyakhovanova.com/Coffins/coffinsmain.html - Зад. 9. - там е точното условие. Особен момент е, че е казано, че числата образуват аритметична прогресия, но не е казано в какъв ред.
Смятам, че е удачно да предположим, че числата образуват прогресия в реда, в който са изброени.

[grav]

[tex]\frac{\sin(a_i)}{\cos(a_i)}-\frac{\sin(a_{i+1})}{\cos(a_{i+1})}=\frac{\sin(a_i)\cos(a_{i+1})-\cos(a_i)\sin(a_{i+1})}{\cos(a_i)\cos(a_{i+1})}=\frac{\sin(a_i-a_{i+1})}{\cos(a_i)\cos(a_{i+1})}=\frac{-\sin(d)}{\cos(a_i)\cos(a_{i+1})}[/tex]


[tex]\sum_{i=1}^{n-1 } \frac{1}{cos a_i cos a_{i+1}}=-\frac1{\sin(d)}\sum_{i=1}^{n-1 }\left(\frac{\sin(a_i)}{\cos(a_i)}-\frac{\sin(a_{i+1})}{\cos(a_{i+1})}\right)[/tex]

[ins-]

Благодаря за решението. Задачата е малко неопределена, но пък идеята е добра.

[grav]

Защо да е неопределена?

[ins-]

Не е дадено каква е разликата на прогресията.

[grav]

Какво означава не е дадена разликата! Разликата е [tex]a_2-a_1[/tex] например.

[ins-]

Значи пак може да не съм в ритъм. Aко е казано "числата ... в този ред образуват" прогресия e малко по-определена другата причина, която ме накара да го помисля е, че съм свикнал да виждам нещо от сорта на:
"числата образуват аритметична прогресия с първи член еди колко си и разлика еди колко си".

[inveidar]

[tex]\frac{\sin(a_i)}{\cos(a_i)}-\frac{\sin(a_{i+1})}{\cos(a_{i+1})}=\frac{\sin(a_i)\cos(a_{i+1})-\cos(a_i)\sin(a_{i+1})}{\cos(a_i)\cos(a_{i+1})}=\frac{\sin(a_i-a_{i+1})}{\cos(a_i)\cos(a_{i+1})}=\frac{-\sin(d)}{\cos(a_i)\cos(a_{i+1})}[/tex]


[tex]\sum_{i=1}^{n-1 } \frac{1}{cos a_i cos a_{i+1}}=-\frac1{\sin(d)}\sum_{i=1}^{n-1 }\left(\frac{\sin(a_i)}{\cos(a_i)}-\frac{\sin(a_{i+1})}{\cos(a_{i+1})}\right)[/tex]

[dim]

...[tex]\sum_{i=1}^{n-1 } \frac{1}{cos a_i cos a_{i+1}}=-\frac1{\sin(d)}\sum_{i=1}^{n-1 }\left(\frac{\sin(a_i)}{\cos(a_i)}-\frac{\sin(a_{i+1})}{\cos(a_{i+1})}\right)[/tex]

Не мисля, че в задачата се търси такова представяне. Според мен това не е пълно решение. Защо не го довършиш?

[strangerforever]

...[tex]\sum_{i=1}^{n-1 } \frac{1}{cos a_i cos a_{i+1}}=-\frac1{\sin(d)}\sum_{i=1}^{n-1 }\left(\frac{\sin(a_i)}{\cos(a_i)}-\frac{\sin(a_{i+1})}{\cos(a_{i+1})}\right)[/tex]

Не мисля, че в задачата се търси такова представяне. Според мен това не е пълно решение. Защо не го довършиш?

Нататък е ясно, затова не го е написал, трудното (ако изобщо може да се нарече трудно) в задачата го е описал.

[ins-]

Английският термин е "telescoping sums".
Като се развие сумата остават само първото и последното събираемо.