интересна задачка

[b1ck0]

Нека [tex]a \diamond b = ab + a + b[/tex] за всички цели числа a и b.

Да се намери: [tex]1 \diamond \left( 2 \diamond \left( 3 \diamond \left( 4 \diamond \ldots \left( 99 \diamond 100 \right) \ldots \right) \right) \right)[/tex]

[Xixibg]

[tex](n+1)!-1[/tex]

[b1ck0]

аз все пак мисля че доказателството е по-интересно от отговора

[strangerforever]

аз все пак мисля че доказателството е по-интересно от отговора

[tex]a \diamond b = (a+1)(b+1) - 1[/tex]

Тогава [tex]99 \diamond 100 = 100.101 - 1[/tex]
[tex]98 \diamond (99 \diamond 100) = 100.101.99 - 1[/tex]
[tex]97 \diamond (98 \diamond (99 \diamond 100)) = 98.99.100.101 - 1[/tex]
...
[tex]1 \diamond \left( 2 \diamond \left( 3 \diamond \left( 4 \diamond \ldots \left( 99 \diamond 100 \right) \ldots \right) \right) \right) = 101.100.100....3.2 - 1 = 101! - 1[/tex]

П.С.: Само идея, не пълно доказателство.

[Xixibg]

Първо лесно се проверява това:
[tex](a \diamond b)\diamond c=a\diamond( b\diamond c)[/tex]

След това индукция.......
За [tex]n=2 ; =>1 \diamond 2=1.2+1+2=5=3!-1[/tex] е изпълнено
Нека за [tex]n=k ; =>1\diamond( 2\diamond( 3\diamond... ((k-1)\diamond k)....)))=(k+1)!-1[/tex] също е изпълнено
[tex]n=k+1 ; =>(k+1)\diamond(1\diamond( 2\diamond( 3\diamond... ((k-1)\diamond k)....)))=(k+1)\diamond((k+1)!-1)[/tex]
[tex](k+1)((k+1)!-1)+(k+1)+(k+1)!-1=(k+1)(k+1)!-\cancel{(k+1)}+\cancel{(k+1)}+(k+1)!-1=[/tex]
[tex]=(k+1+1)(k+1)!-1=(k+2)!-1[/tex]
С което задачата е доказана