Нова стереометрия

[ins-]

Пак е на английски и е малко неясна, но вярвам, че е интересен повод за размисъл.

8foxes.com_244.GIF (13.35 KiB) Прегледано 410 пъти

[ins-]

Толкова ли е трудна?!

[dim]

Разглеждам проекцията на сферата в/у 4-ъгълникът ABCD, проекцията на центърът O е O'. Лесно се установява, че в равнината на ABCD важи зависимостта: [tex]a'^2+c'^2=d'^2+b'^2[/tex](*). Сега ако прекараме една равнина през O, O' и C, която се явява [tex]\bot[/tex] на р-та на ABCD и проектираме цялата картинка в тази равнина, тогава ще имаме нещо като горната част на чертежа(леко некоректно изображение на тази проекция-да се възприема като схема). Тогава допирателната [tex]c^2=CT^2=c'^2+(h^2-r^2)[/tex]. Аналогично ако изчислим и другите допирателни и заместим в:[tex]a^2+c^2=b^2+c^2[/tex]и вземем впредвид че [tex]h^2-r^2[/tex] е общ член за всяка допирателна, ще се получи тъждество, което <=> на (*). Има се впредвид ,че всички допирателни от една точка до сфера са равни. Не трябва да има и никакъв проблем когато O' не е вътрешна за ABCD, защото зависимост (*) важи за всяка точка от равнината на ABCD

За по-голяма яснота ще докажа (*): [tex]a'^2+c'^2=(x^2+y^2)+((n-y)^2+(m-x)^2)=(x^2+(n-y)^2)+((m-x)^2+y^2)=b'^2+d'^2[/tex]

[ins-]

Благодаря за отделеното време и за решението. Дано задачата е била интересна. По-натам вероятно ще пусна някоя по-трудна планиметрия като за "Задача на седмицата".