Граница на редицата получена от x_{n+1}x_n-2x_n+1=0

[mkmarinov]

Дадена е редицата [tex]\{x_n\}_0^{\infty}[/tex]. Ако [tex]x_{n+1}x_n-2x_n+1=0[/tex] и [tex]x_0>1[/tex], да се намери [tex]\lim_{n \to \infty}(x_n)^n[/tex]

[dextur33]

Извинявай , би ли уточнил какво означава {xn} bezkrainost i otdolu 0 , а също и как може да има x0 , не е правилно х1 ?

[ptj]

Условието си е напълно коректно: [tex]n[/tex] пробягва целите числа от [tex]0[/tex] до [tex]+\infty[/tex].

[drago]

[tex]x_{n+1} = 2 - \frac{1}{x_n}[/tex]
Забелязваме че ако [tex]x_n = 1+ \frac{1}{n} \, \Rightarrow \, x_{n+1} = 1+ \frac{1}{n+1}[/tex].

[tex]f(x) = 2- \frac{1}{x}[/tex]е растяща в [tex][1, \infty)[/tex].
[tex]x_1 \in [1+ \frac{1}{k+1}, \, 1+\frac{1}{k})[/tex] за някое k. =>

[tex]x_{n+1} \in [1+\frac{1}{n+k+1}, \, 1+ \frac{1}{n+k}), \, n=0,1,\dots,[/tex].
От тук нататък лесно следва [tex]lim_{n \to \infty} (x_n)^n = e[/tex].

[mkmarinov]

Интересно решение!
Моето е малко по-директно...
[tex]\frac{1}{x_{n+1}-1}-\frac{1}{x_n-1}=1[/tex], откъдето [tex]x_n=1+\frac{1}{n+c}[/tex], c зависи от [tex]x_0[/tex].

[pipi langstrump]

Чудех се откъде ми е позната тая задача
viewtopic.php?f=65&t=1076

[mkmarinov]

Давана е на вътрешен кръг на олимпиадата на ФМИ, аз оттам я видях.