Подобни триъгълници в петоъгълник.

[drago]

Даден е изпъкнал петоъгълник [tex]ABCDE[/tex], за който: [tex]AB=BC=CA[/tex] и [tex]CD=DE=EC[/tex].
Нека [tex]S[/tex] е центърът на равностранния триъгълник [tex]ABC[/tex], a [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно средите на [tex]BD[/tex] и [tex]AE[/tex].
Докажете, че триъгълниците [tex]SME[/tex] и [tex]SND[/tex] са подобни.

[drago]

Задачата е давана на IV подборен кръг на НОМ 1979г.

Всъщност ме интересува чисто геометрично решение без използване на комплексни числа (или въртене на вектори).
Иначе с тези два равностранни тр., единия завъртян и разтегнат спрямо другия просто е идеалното приложение на комплексните числа.

[Xixibg]

Задачата може да се реши само с подобни триъгълници и средна отсечка.Общо взето с материал за 9-ти клас.Когато бях ученик съм я решавал в школата по математика .Това беше отдавна и вече съм забравил как се решава ,но ако се помъча малко може и да си спомня.

[Xixibg]

Нека [tex]P,Q[/tex] са средите съответно на [tex]AC,BC[/tex]
[tex]\angle PCS=30 ,\angle CPS=90[/tex] ([tex]S[/tex] е център на равностранният [tex]\triangle ABC[/tex],[tex]=>CS[/tex] е ъглополовяща)
[tex]1.\frac{PS}{CS}=\frac{1}{2}[/tex](катет срещу ъгъл[tex]30^\circ[/tex]в правоъгълен триъгълник)
[tex]2.PN=\frac{CE}{2}=\frac{CD}{2} ; (CE=CD[/tex]по условие) -като средна отсечка в [tex]\triangle ACE[/tex]
[tex]3.\angle SPN=90^\circ +\angle APN=90^\circ +\angle ACE=\angle SCP+\angle ECD+ \angle ACE=\angle SCD[/tex]
[tex]\triangle CSD \approx \triangle PSN[/tex]
[tex]=>\angle CSD=\angle PSN ; => \angle CSD+\angle DSP=\angle PSN+\angle DSP ; =>\angle DSN=\angle CSP=60^\circ[/tex]
[tex]=>\frac{SN}{SD}=\frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>\triangle SND \approx \triangle SPC[/tex]

Аналогично [tex]\triangle SQM \approx \triangle SCE[/tex] от където Аналогично[tex]=>\triangle SEM \approx \triangle SCQ[/tex]

[tex]\triangle SQC,\triangle SPC[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle SCQ=\angle SCP=30^\circ , 2.\angle SQC=\angle SPC=90^\circ ; 3.CS-[/tex] обща

[tex]=>\triangle SEM \approx \triangle SND[/tex]

[ptj]

Задачата може да се реши само с подобни триъгълници и средна отсечка...

Всичко написано може да се решава и чрез вектори.

[Xixibg]

Може разбира се.
Това е планиметричното......
Ако искаш напиши векторно
Ако не можеш кажи и ще потна и векторно.
А за феновете на Висшата математика може и с комплексен анализ да напишем нещо

[grav]

А за феновете на Висшата математика може и с комплексен анализ да напишем нещо

Давай, напиши решение с комплексен анализ. Но държа да е с комплексен анализ, а не само с комплексни числа.