Задача от олимпиада 9 клас 2010г

[Mathemagician]

Здравейте, исках да се подготвя за утрешната олимпиада но има една задача която не мога да я реша, а в критериите не пишат решението ако може някой да ми го обясни ще съм му много благодарен:
Диагоналите AC и BD на един четириъгълника АBCD се пресичат в точка О. Върху отсечките АО и DO са взети съответно точките M и Р така, че BM || CD и СР || АB
а) Докажете че МР || AD
б) Ако правите ВМ и СР пресичат страната AD съответно в точките Е и F и АЕ:ЕF:FD=3:1:2, намерете отношенията АМ:МО:ОС и ВО:ОР:РD

[ptj]

Един от начините е с вектори и неопредлени коефициенти. За задачи, в чиито условия липсват окръжности и ъгли, това е стандартен метод.

Означи [tex]\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OD}=\vec{b}[/tex]
Нека [tex]\vec{OC}=k.\vec{a},\vec{OB}=l.\vec{b},\vec{OM}=p.\vec{a},\vec{OP}=q.\vec{b}[/tex] .

[tex]\vec{BM}=\vec{BO}+\vec{OM}=-l.\vec{b}+p.\vec{a}[/tex]
[tex]\vec{CD}=\vec{CO}+\vec{OD}=-k.\vec{a}+\vec{b}[/tex]
[tex]\vec{BM} \parallel \vec{CD}[/tex] <=> [tex]\frac{-l}{1 }=\frac{p}{-k }[/tex] <=> [tex]p=k.l[/tex].

Аналогично:
[tex]\vec{CP}=\vec{CO}+\vec{OP}=-k.\vec{a}+q.\vec{b}[/tex]
[tex]\vec{BA}=\vec{BO}+\vec{OA}=-l.\vec{b}+\vec{a}[/tex]
[tex]\vec{BM} \parallel\vec{CD}[/tex] <=>[tex]\frac{-k}{1 }=\frac{q}{ -l}[/tex] <=> [tex]q=k.l[/tex]

[tex]\vec{PM}=\vec{PO}+\vec{OM}=-q.\vec{b}+p.\vec{a}=-kl.\vec{b}+kl.\vec{a}=kl(\vec{a}-\vec{b})=kl(\vec{OA}-\vec{OD})=kl.\vec{DA}[/tex] , т.е. [tex]PM \parallel DA[/tex]

П.П. Другото подусловие е аналогично.