Общински кръг-2007, 9 клас

[Hena]

За кои стойности на параметъра а системата:
[tex]\begin{tabular}{|l}-3x^{2}+5axy+2y^{2}=3a+5\\x^{2}-3axy-(6a+4)y^{2}=0\end{tabular}[/tex]

има решение (x,y) такова,че [tex]x\le 0[/tex] и [tex]y<0[/tex]

[ganka simeonova]

Мартин е човекът.

[martin123456]

можем да считаме че [tex]y \ne 0[/tex], понеже търсим параметри че [tex]y<0[/tex].
разделяме 2рото на [tex]y^2[/tex] и полагаме [tex]\frac{x}{y}=t[/tex]. получава се квадратното уравнение [tex]t^2-3at-6a-4=0[/tex]. то има [tex]D=(3a+4)^2[/tex] и корени [tex]t_1=-2[/tex], който не ни устройва понеже [tex]\frac{x}{y} \geq 0[/tex] трябва да е вярно за намерените стойнсоти на параметъра, и [tex]t_2=3a+2[/tex]
заместваме [tex]x[/tex] тук [tex]-3x^{2}+5axy+2y^{2}=3a+5[/tex], което ако нямам грешки след преобразуване е [tex]-2(3a+5)(y^2(2a+1)+3)=0[/tex].
aко [tex]a=-\frac{5}{3}[/tex], то [tex]t_2=3a+2=-3 <0[/tex], така че не ни устройва
[tex]a\ne -\frac{1}{2}[/tex], значи [tex]y^2=-\frac{3}{2a+1}[/tex]. трябва
(1)[tex]2a+1 <0[/tex]
[tex]y = \pm \sqrt{-\frac{3}{2a+1}}[/tex]. значи [tex]y=-\sqrt{-\frac{3}{2a+1}}[/tex]. [tex]x=-\sqrt{-\frac{3}{2a+1}}(3a+2) \leq 0[/tex]
(2)[tex]3a+2 \geq 0[/tex]
отг [tex](1) \cap (2)[/tex]