През медицентъра е прекарана права, пресичащата описаната...

[ins-]

Авторска задача:
През медицентъра на триъгълник ABC е прекарана права l, пресичащата описаната окръжност в точките X и Y, така че върховете А и C са в една полуравнина относно l. Да се докаже, че: BX.BY=AX.AY+CX.CY.

[ins-]

Задачата не е авторска. Видях я в един сайт. Написах "една от мен", защото не бях пускал скоро никаква задача. Ако някой модератор чете това - може да промени описанието на задачата.

[ins-]

задачата остана много нерешена.

[drago]

Ако знаеш решението, пусни го!

[drago]

Тъй като ми беше интересно, лека полека нещата станаха.

За произволна точка [tex]X[/tex], за краткост означаваме: [tex]M(X) = XA^2 + XB^2 + XC^2[/tex].
Известно е следното равенство,което ще използваме:

(1) [tex]M(X) = M(G) + 3XG^2[/tex]

където [tex]G[/tex] е медицентъра на триъгълника. (1) би могло да се докаже напр. с вектори.

Това, което трябва да докажем е еквивалентно на:

(2) [tex]2 AX.AY \cos\angle XAY + 2 BX.BY \cos\angle XBY + 2 CX.CY \cos\angle XCY =0[/tex]

Като използваме косиносувата теорема преобразуваме лявата страна на (1) в:

(3) [tex]M(X) + M(Y) -3XY^2 =[/tex]

(4) [tex]= 2M(G) + 3XG^2 + 3YG^2 - 3XY^2 =[/tex]

(5) [tex]= 2M(G) -6XG.XY =[/tex]

(6) [tex]= 2(M(G) -3(R^2 - OG^2)) =[/tex]

(7) [tex]= 2(M(G) - M(O) + 3OG^2 )= 0[/tex]

съгласно (1).

[drago]

Още нещо. Тази задача може да се обобщи и за [tex]n[/tex] точки в/у окръжността и центърът на тежестта им [tex]G[/tex], като сумата на всички произведения от едната полуравнина е равна на сумата на произведенията от другата полуравнина.
Доказателството е аналогично, тъй като (1) е вярно и в този случай, като вместо 3 се постави n.

[ins-]

Късно прочетох написаното. Задачата е от Казахстанска олимпиада по математика. Може да се реши и по други начини:
http://dxdy.ru/topic52742.html - тук могат да се видят още идеи.

[inveidar]

Тоя виц и аз го знам, но по друг начин!!!

[drago]

Късно прочетох написаното. Задачата е от Казахстанска олимпиада по математика. Може да се реши и по други начини:
http://dxdy.ru/topic52742.html - тук могат да се видят още идеи.

Хвърлих бегъл поглед на тези предложения, не виждам обаче как могат да се прокарат в общия случай на [tex]n[/tex]точки в/у окръжността.

[ins-]

Никой не е казвал, че идеите от линка решават задачата, когато е обобщена.
И аз знам много вицове