Докажете неравенство IH < 2OI за триъгълник

[strangerforever]

При стандартни означения в триъгълник, да се докаже [tex]IH \le 2OI[/tex]

[ganka simeonova]

Задачата е хубава, но малко дълга за писане.
Ще ползваме следните известни факти при стандартни означения:
[tex]GH=2OG; OH=3OG; OG^2=R^2-\frac{1}{ 9} (a^2+b^2+c^2)[/tex]
Прилагайки т-та на Стюарт за [tex]\Delta OIH[/tex]=>
[tex]IH^2.OG+IO^2.GH-IG^2.OH=OH.OG.GH[/tex]=>

[tex]IH^2.OG+(R^2-2Rr).2OG-\frac{1}{ 9} (p^2+5r-16Rr).3OG=3OG.OG.2OG[/tex]=>...

[tex]IH^2=4R^2+4Rr+3R^2-p^2[/tex]
За да докажем н-то, ще докажем, че:
[tex]IH^2-4OI^2\le 0[/tex]
[tex]IH^2-4OI^2=4R^2+4Rr+3R^2-p^2-4R^2+8Rr=12Rr+3r^2-p^2=3r(4R+r)-p^2[/tex], но

[tex](4R+r)r=ab+bc+ca-p^2[/tex]-доказано в стария форум от Нона

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2310

Тогава:
[tex]IH^2-4OI^2=ab+bc+ac-a^2-b^2-c^2\le \frac{a^2+b^2}{2 } +\frac{c^2+b^2}{2 } +\frac{a^2+c^2}{2 } -a^2-b^2-c^2=0[/tex]
Равенство се получава, когато триъгълникът е равностранен и тогава точките съвпадат.