Произведение на дроби

[kucheto]

Да се докаже, че: [tex]3<\prod_{i=51}^{500}\frac{2i}{2i-1}<\sqrt{10}[/tex]

[drago]

Има стандартен начин за такъв род задачи.
Да означим [tex]f(x) = \ln \frac{2x}{2x-1}[/tex]. Tъй като f(x) е растяща(поне в интервала от условието), то:

[tex]\int_{51}^{501} f(t-1) \, dt < \sum_{i=51}^{501} \ln \frac{2i}{2i-1} < \int_{51}^{501} f(t) \, dt[/tex].

Интегралите се смятат и от тук трябва да получим оценките отдолу и отгоре.

[Xixibg]

Абе то това е добре ама интеграли не се учат в средното образование.Измисляйте и давайте решения за ученици ако може.Би трябвало да има чисто алгебрично решение.

[mkmarinov]

Абе то това е добре ама интеграли не се учат в средното образование.Измисляйте и давайте решения за ученици ако може.Би трябвало да има чисто алгебрично решение.

Чисто алгебрично, защото алгебра се учи в средното образование

[kucheto]

По-добре ще е да напишете решение без интеграли, ако искате мога да дам и моето, което е от материал 10-11 клас.

[Xixibg]

Първо ще докажем следното помощно неравенство.

[tex]\frac{2n}{2n-1}.\frac{2n-1}{2n-2}>(\frac{2n}{2n-1})^2>\frac{2n}{2n-1}.\frac{2n+1}{2n}[/tex]

1.[tex]\frac{2n}{2n-1}.\frac{2n-1}{2n-2}>(\frac{2n}{2n-1})^2[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.\frac{2n-1}{2n-2}-(\frac{2n}{2n-1})^2>0[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.(\frac{2n-1}{2n-2}-\frac{2n}{2n-1})>0[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.\frac{(2n-1)^2-2n(2n-2)}{(2n-2)(2n-1)}>0[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.\frac{4n^2-4n+1-4n^2+4n}{(2n-2)(2n-1)}>0[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.\frac{1}{(2n-2)(2n-1)}>0[/tex] е вярно за всяко [tex]n>1[/tex]

2.[tex](\frac{2n}{2n-1})^2>\frac{2n}{2n-1}.\frac{2n+1}{2n}[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.\frac{2n+1}{2n}-(\frac{2n}{2n-1})^2<0[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.(\frac{2n+1}{2n}-\frac{2n}{2n-1})<0[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.\frac{(2n-1)(2n+1)-(2n)^2}{2n(2n-1)}<0[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.\frac{4n^2-1-4n^2}{2n(2n-1)}<0[/tex]

[tex]=>\frac{2n}{2n-1}.\frac{-1}{2n(2n-1)}<0[/tex] е вярно за всяко [tex]n>1[/tex]

[tex]=>\sqrt{\frac{2n}{\cancel{2n-1}}.\frac{\cancel{2n-1}}{2n-2}}>\frac{2n}{2n-1}>\sqrt{\frac{\cancel{2n}}{2n-1}.\frac{2n+1}{\cancel{2n}}}[/tex]

[tex]=>\sqrt{\frac{2n}{2n-2}}>\frac{2n}{2n-1}>\sqrt{\frac{2n+1}{2n-1}}[/tex]



[tex]=>\prod_{i=51}^{500}\frac{2i}{2i-2}=\frac{1000}{100}=10[/tex]

[tex]=>\sqrt{\prod_{i=51}^{500}\frac{2i}{2i-2}}=\sqrt{10}[/tex]

[tex]=>\prod_{i=51}^{500}\frac{2i+1}{2i-1}=\frac{1001}{101}>9[/tex]

[tex]=>\sqrt{\prod_{i=51}^{500}\frac{2i+1}{2i-1}}>\sqrt{9}=3[/tex]


[tex]\sqrt{\prod_{i=51}^{500}\frac{2i}{2i-2}}>{\prod_{i=51}^{500}\frac{2i}{2i-1}}>\sqrt{\prod_{i=51}^{500}\frac{2i+1}{2i-1}}[/tex]

[tex]=>\sqrt{10}>{\prod_{i=51}^{500}\frac{2i}{2i-1}}>3[/tex]

[Xixibg]

Абе то това е добре ама интеграли не се учат в средното образование.Измисляйте и давайте решения за ученици ако може.Би трябвало да има чисто алгебрично решение.

Чисто алгебрично, защото алгебра се учи в средното образование

Коментарът ти е заядлив и излишен.............И да поне на учебниците в училище пише раздел "алгебра", "геометрия","тригонометрия",.......А кое точно е алгебра много зависи от гледната точка.Не мога да разбера ,защо се опитвате да бъдете интересни по този начин.Даването на решения с Висша математика на задачи предназначени за ученици по никакъв начин не помага на самите ученици, а само показва невъзможност от Ваша страна да предложите нормално решение с елементарна математика.

[mkmarinov]

Даването на решения с висша на математика на задачи, които са тривиални за висшата математика показва нашето неодобрение към излишно сложните решения с използването излишно занижено ниво на материал.

С други думи, не харесваме мнения от типа на 'Ама ти го изкара просто, а трябва да ти е сложно!'

[Xixibg]

И какво искаш да покажеш по този начин?
Че знаеш нещо от Висшата математика или пък че ученето и прилагането на елементарната(училищната) математика е излишно?
Не мога точно да те разбера.Нали все пак за да стигнеш до университета трябва първо да научиш нещичко в училище.И ти след като вече си минал този период считаш че всичко това в училище е излишно.
Не си прав

[mkmarinov]

Можеш да казваш дали съм прав ако съм казвал нещо подобно на написаното от теб. В този случай не съм
Ще го повторя с по-прости думи: ако висшата математика опростява решението, няма абсолютно никаква причина тя да не бъде използвана. Ако една задача е тривиална, няма нито една рационална причина да се търси по-сложно решение!

P.S. 90% от задачите, давани по олимпиади, се решават с материал, излизащ много извън изучаваното в училище.

[drago]

Toва е раздел "Олимпиади/съзтезания по математика". За да има там успех даден ученик трябва да знае много неща извън училищния материал. Не само като факти, но и като използвани прийоми и идеи.
Включително и интеграли, поне дефиниция, таблични интеграли, основни техники за решаване и приложения.
В тази задача това стига.

[inveidar]

Ще го повторя с по-прости думи: ако висшата математика опростява решението, няма абсолютно никаква причина тя да не бъде използвана. Ако една задача е тривиална, няма нито една рационална причина да се търси по-сложно решение!

Задачата е тривиална, ако се решава с висша математика. А причина да не се използва висшата математика има и още как. Целта на елементарната математика в училище е преди всичко да развива логическо мислене и дисциплина на ума, а не зазубряне на понятия и прийоми, макар че и те са полезни в определени случай.

[grav]

Показването на решение, използващо неучилищни неща, които правят задачата 'тривиална', може да стимулира интерес към съответните части и методи от математиката.

[kucheto]

Решение:

Въвеждаме [tex]B_n=\prod_{i=1}^{n}\frac{2i}{2i-1}[/tex]

Ще докажем, че ако [tex]l<k[/tex], то [tex]\frac{B_l^2}{l}>\frac{B_k^2}{k}[/tex]

Достатъчно е да докажем, че [tex]\frac{B_l^2}{l}>\frac{B_{l+1}^2}{l+1}=\frac{B_l^2(2l+2)^2}{(l+1)(2l+1)^2}[/tex], което, след многократно повтаряне, следва и за [tex]k[/tex].
[tex]\frac{B_l^2}{l}>\frac{B_l^2(2l+2)^2}{(l+1)(2l+1)^2}\Rightarrow (l+1)(2l+1)^2>l(2l+2)^2\Rightarrow 4l^3+8l^2+5l+1>4l^3+8l+4l\Rightarrow l+1>0[/tex] Q.E.D.

[tex]\frac{B_{500}}{B_{50}}=\frac{\sqrt{\frac{B_{500}^2}{500}}}{\sqrt{\frac{B_{50}^2}{50}}}.\sqrt{\frac{500}{50}}<\sqrt{10}[/tex], което доказва едната страна на неравенството.

За другата страна на неравенството ще използваме, чрез доказателство, че [tex]\frac{B_n^2}{n}>3[/tex]
Или: [tex]B_n^2=\prod_{i=1}^{n}(\frac{2i}{2i-1})^2>3n[/tex]
Имаме: [tex]B_n^2=\prod_{i=1}^{n}(\frac{2i}{2i-1})^2=\prod_{i=1}^{n}(\frac{2i+1}{2i-1}+\frac{1}{(2i-1)^2})[/tex]
Полагаме [tex]a=1[/tex] и пресмятаме последното произведение последователно от 1 до n, като то приема вида:
[tex](\frac{a+2}{a}+\frac{1}{a^2}).(\frac{a+4}{a+2}+\frac{1}{(a+2)^2})[/tex]...[tex](\frac{a+2n}{a+2n-2}+\frac{1}{(a+2n-2)^2})[/tex]


[tex](\frac{a+2}{a}+\frac{1}{a^2}).(\frac{a+4}{a+2}+\frac{1}{(a+2)^2})=\frac{a+4}{a}+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a^2(a+2)^2}>\frac{a+4}{a}+\frac{2}{a^2}[/tex]

[tex](\frac{a+4}{a}+\frac{2}{a^2}).(\frac{a+6}{a+4}+\frac{1}{(a+4)^2})=\frac{a+6}{a}+\frac{3}{a^2}+\frac{1}{a^2(a+4)^2}>\frac{a+6}{a}+\frac{3}{a^2}[/tex]

..........................................................................................

[tex](\frac{a+2k-2}{a}+\frac{k-1}{a^2}).(\frac{a+2k}{a+2k-2}+\frac{1}{(a+2k-2)^2})=\frac{a+2k}{a}+\frac{k}{a^2}+\frac{1}{a^2(a+2k-2)^2}>\frac{a+2k}{a}+\frac{k}{a^2}[/tex]

..........................................................................................

[tex](\frac{a+2n-2}{a}+\frac{n-1}{a^2}).(\frac{a+2n}{a+2n-2}+\frac{1}{(a+2n-2)^2})=\frac{a+2n}{a}+\frac{n}{a^2}+\frac{1}{a^2(a+2n-2)^2}>\frac{a+2n}{a}+\frac{n}{a^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow B_n^2>\frac{a+2n}{a}+\frac{n}{a^2}=2n+1+n=3n+1>3n[/tex] Q.E.D.


От друга страна [tex]\frac{B_{50}^2}{50}<\frac{B_6^2}{6}=\frac{1024^2}{231^2.6}<\frac{10}{3}[/tex] (проверява се директно).

[tex]\frac{B_{500}}{B_{50}}=\frac{\sqrt{\frac{B_{500}^2}{500}}}{\sqrt{\frac{B_{50}^2}{50}}}.\sqrt{10}>\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{10}{3}}}.\sqrt{10}=3[/tex], което доказва останалата част на задачата.


ПП. Тази задача ми беше от едно задочно състезание за 10 клас и дълго време нямах идея за решение, докато не видях в един справочник, че: [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{B_n^2}{n}=\pi[/tex], но за условието на задачата беше нужно да докажа, че редицата е намаляваща и по-голяма от 3 (последното съм го доказал с индукция по [tex]n[/tex], чрез въвеждане на помощен параметър и последователно премахване на малките събираеми). Не смятам, че би било удачно да се използва висша математика, все пак задачата е за 10 клас.

[kucheto]

Иначе съм на мнение, че ако методите от висшата математика улесняват решението, няма лошо да се използват. Просто трябва да се прецени кога и как да се употребят и дали проверяващите признават подобен вид решения. В този случай задачата изискваше училищно решение, а за измислянето му имах достатъчно време за мислене.

[Xixibg]

Toва е раздел "Олимпиади/съзтезания по математика". За да има там успех даден ученик трябва да знае много неща извън училищния материал. Не само като факти, но и като използвани прийоми и идеи.
Включително и интеграли, поне дефиниция, таблични интеграли, основни техники за решаване и приложения.
В тази задача това стига.

Това е раздел "Олимпиади и състезания по математика за 9-12 клас".По въпроса със знанията си прав че състезател трябва да знае повече от колкото предлагат в училище ,но за решаването с интеграли не си прав,защото задачата бива оценявана единствено ако е използван учебен материал или са доказани всички използвани методи и теореми извън учебният материал.Така погледнато за да решиш на училищна олимпиада една задача с интеграли първо трябва да обясниш и докажеш какво е интеграл и как се изчислява,а това не е толкова лесно.Поради това решение с интеграли ще стане доста по-тежко от обикновеното с неравенства.Целта не е да покажем колко много знаем ,а да се научим да мислим и използваме пълноценно малкото неща които знаем.И да те върна на един твой пост:

Задачата е давана на IV подборен кръг на НОМ 1979г.

Всъщност ме интересува чисто геометрично решение без използване на комплексни числа (или въртене на вектори).
Иначе с тези два равностранни тр., единия завъртян и разтегнат спрямо другия просто е идеалното приложение на комплексните числа.

Защо не ти харесва решение с комплексен анализ?
Между другото съм ти написал чисто геометрично решение....

[Xixibg]

Можеш да казваш дали съм прав ако съм казвал нещо подобно на написаното от теб. В този случай не съм
Ще го повторя с по-прости думи: ако висшата математика опростява решението, няма абсолютно никаква причина тя да не бъде използвана. Ако една задача е тривиална, няма нито една рационална причина да се търси по-сложно решение!

P.S. 90% от задачите, давани по олимпиади, се решават с материал, излизащ много извън изучаваното в училище.

Говориш глупости.Всяка задача давана на училищна олимпиада по математика може да се реши с елементарна математика.Ти като ученик или не си ходил на олимпиади , или ако си ходил си решавал задачите без висша математика.В противен случай със сигурност нямаш никакви успехи....
Всяка задача има елементарно(хитро) решение с училищен материал много по-просто от използването на произволна част от Висшата математика.Но хората със закърняло мислене не могат да го открият.Затова и повечето като теб въобще не търсят такова.

[drago]

Не искам да споря, написал съм каквото мисля.
Колкото до исискването да бъдат използвани само методи включени в учебния материал- това е абсурдно и не е вярно.
Между другото съм виждал неравенство давано, на републикански кръг, с авторско решение, което използва интегралното неравенство на Коши-Шварц. Това е нещо по-дълбоко от моето предложение за тази задача.

Благодаря за чисто геометричното решение на другата задача!
Не че не ми харесва решението с комплексни числа, просто го знам и бях любопитен и за друга идея.

[inveidar]

Показването на решение, използващо неучилищни неща, които правят задачата 'тривиална', може да стимулира интерес към съответните части и методи от математиката.

Абсолютно вярно, но това трябва да е допълнение към елементарното решение. Ученикът трябва първо да се научи сам да мисли, а после да му се показват лесните пътечки към върха, колкото и абстрактно да звучи това. За съжаление, съвременните тенденции на нашите олимпиади и състезания са точно в обратната посока. Може би и затова успехите ни в последно време са впечатляващи!!!

[drago]

...Но хората със закърняло мислене не могат да го открият.Затова и повечето като теб въобще не търсят такова.

Това вече е много гадно!!

[grav]

Абсолютно вярно, но това трябва да е допълнение към елементарното решение. Ученикът трябва първо да се научи сам да мисли, а после да му се показват лесните пътечки към върха, колкото и абстрактно да звучи това.

Естественно, но някои изразиха мнение, че това въобще и не трябва да става.

За съжаление, съвременните тенденции на нашите олимпиади и състезания са точно в обратната посока. Може би и затова успехите ни в последно време са впечатляващи!!!

Не бих казал, че са толква съвременни, при училищните и олимпииските задачи винаги е имало и научаване на готови техники и трикове. Което е добре и хубаво, лошо е когато не се прави почти нищо друго.

[mkmarinov]

Говориш глупости.Всяка задача давана на училищна олимпиада по математика може да се реши с елементарна математика.Ти като ученик или не си ходил на олимпиади , или ако си ходил си решавал задачите без висша математика.В противен случай със сигурност нямаш никакви успехи....
Всяка задача има елементарно(хитро) решение с училищен материал много по-просто от използването на произволна част от Висшата математика.Но хората със закърняло мислене не могат да го открият.Затова и повечето като теб въобще не търсят такова.

За втори път ми приписваш неща, които не съм казал. Кой е със закърняло мислене?
Не съм казал, че няма елементарно решение, а че няма решение с материал, изучаван в училище! Има огромна разлика.
Решенията, използващи висша математика, се признават на всяко национално състезание. Много често и авторовото решение е такова. Но като те гледам, след общински кръг не си минавал, така че няма откъде да знаеш

Между другото, я виж тазгодишния трети кръг на НОМ. Покажи ми елементарно решение на третата! Иначе си закърнял мозък.
viewtopic.php?f=10&t=5843