НОМ България, IV подборен кръг-1980, зад.5

[drago]

Намерете броя на възможните начини за избиране на 6 числа измежду числата от 1 до 49, така че да има поне две последователни числа.

[drago]

Ако това ще помогне, отговорът е [tex]C^6_{49} - C^6_{44}[/tex].

[drago]

Както подсказва отговорът, търсеният брой го представяме като разлика от броя на всички комбинации [tex]C^6_{49}[/tex] и броя на комбинациите от 6 елемена, измежду които няма последователни числа.
Да намерим броя на последните. И тука се прави следния трик, който трябва да се знае от ходещите по олимпиади. Нека [tex]x_1 < x_2< \cdots < x_6[/tex] са такива 6 числа. Съпоставяме им следната 6-торка.
[tex]y_1 = x_1,\, y_2=x_2-1,\, y_3=x_3-2,\cdots, y_6=x_6-5[/tex]. Тъй като между x-овете няма последователни числа, то y-ците са 6 различни числа от 1 до 49-5=44. Съобразява се, че това съпоставяне е взаимно еднозначно съответствие между 6-ките от 1 до 49, между които няма последователни и 6-ките от различни числа от 1 до 44. Броят на последните е [tex]C^6_{44}[/tex].