НОМ България, IV подборен кръг-1980, зад.1

[drago]

Докажете, че съществува единствена редица от естествени числа [tex]p_0=5,\, p_1, p_2,\cdots \,;\, 0 \leq p_i \leq 9[/tex],

така че за всяко [tex]k[/tex], квадрата на всяко положително цяло число завършващо с цифрите [tex]p_kp_{k-1}\cdots p_0[/tex] завършва пак със същата последователност от цифри.

[ptj]

Рекурентно всяко зависи от предишното.

Редицата съдържа цифрите отзад напред в записа на [tex]5^{(2^{k-1})[/tex].

[drago]

Рекурентно всяко зависи от предишното.

Редицата съдържа цифрите отзад напред в записа на [tex]5^{(2^{k-1})[/tex].

Че всеки член някак зависи от предишните съм съгласен.
За другото- не съм!

[ptj]

[tex]p_0=5[/tex]

[tex](10k+5)^2=10^2(k^2+k)+25[/tex] => [tex]p_1=2[/tex]

[tex](10^2k+25)^2=10^3(10k^2+5k)+625[/tex] => [tex]p_2=6[/tex]

[tex](10^3k+625)^2=10^4(100k^2+125k)+390625= 10^4(100k^2+125k+39)+625[/tex] => [tex]p_3=0[/tex]

[tex](10^4k+0625)^2=10^5(10^3k^2+78125k)+390625= 10^5(10^3k^2+78125k+3)+ 90625[/tex] =>[tex]p_4=9[/tex]
...

Числата 5, 25, 625, 390625 са точно от вида [tex]5^{(2^{k-1})}[/tex].

Причината за подобна закономерност е развитието на [tex](10a+5b)^2=100(a^2+ab)+25b^2[/tex].

[drago]

[tex]p_0=5[/tex]

[tex](10k+5)^2=10^2(k^2+k)+25[/tex] => [tex]p_1=2[/tex]

[tex](10^2k+25)^2=10^3(10k^2+5k)+625[/tex] => [tex]p_2=6[/tex]

[tex](10^3k+625)^2=10^4(100k^2+125k)+390625= 10^4(100k^2+125k+39)+625[/tex] => [tex]p_3=0[/tex]

[tex](10^4k+0625)^2=10^5(10^3k^2+78125k)+390625= 10^5(10^3k^2+78125k+3)+ 90625[/tex] =>[tex]p_4=9[/tex]
...

Числата 5, 25, 625, 390625 са точно от вида [tex]5^{(2^{k-1})}[/tex].

Причината за подобна закономерност е развитието на [tex](10a+5b)^2=100(a^2+ab)+25b^2[/tex].

Ти си стигнал до [tex]p_4[/tex], ако беше пресметнал [tex]p_5[/tex] щеше да видиш че е [tex]p_5=8[/tex], a не 3.

[ptj]

Да, закономерността е малко по-различна.

Редицата [tex]p_0,p_1,p_2,...,p_{k}[/tex] е съставена от последните [tex](k+1)[/tex]цифри в десетичния запис на [tex]5^{(2^{k-1})}[/tex] в обратен ред.

Пример:
[tex]5^{(2^{5-1})}=5^{16}=152587890625[/tex]
Последните 6 цифри в обратен ред са 5,2,6,0,9,8.

[Xixibg]

Опитвате се да налучкате.Търси се доказателство все пак.Задачата съм я решавал преди години и мога да пусна решение.За сега ще дам само жокер:
Нека [tex]z=10^{k+1}.m+z_k[/tex] , където [tex]m[/tex] е произволно число ,а [tex]z_k=p_0+10.p_1+10^2.p_2+...+10^k.p_k[/tex]
Остава да докажем , че [tex]z^2-z_k\equiv 0(mod 10^{k+1})[/tex]

[ptj]

Закономерността, която съм записал се доказва елементарно, а самата задача е прекалено лесна за подборен кръг. Необходимите знанията за нея са на ниво 8-ми клас.

[Xixibg]

Тя е тази закономерността ама трябва да докажеш единственост.

[inveidar]

Закономерността, която съм записал се доказва елементарно, а самата задача е прекалено лесна за подборен кръг. Необходимите знанията за нея са на ниво 8-ми клас.

Това изказване ми прилича на вица дето професор по медицина попитал студентите си колко пози знаят в секса. Един се изцепил - 99! Всички казали по някое число, само Иванчо си мълчал. Професорът го попитал: Иванчо, ти защо мълчиш? Нито една ли не знаеш?. А, знам, но само една. И коя е тя - пак попитал професорът. Ами, онази, дето жената е от долу, а мъжът от горе. Най-обикновената - отвърнал Иванчо. И тогава някъде отзад се чуло - СТО, СТО, СТО!!!
Та така и ти ptj. Една задача става много лесна, когато разбереш как се решава, нали? Но по-добре е да не изпадаш в ролята на голям РАЗБИРАЧ на задачите понякога! Весела Нова Година!!!

[ptj]

Какво делите или се опитвате да докажете не знам. За мен поведението ви е смешно. Написах всичко само в отговор на поста на "drago".

П.П. Май забравихте, че задачата седя без отговор повече от ден без някой да напише и ред по нея.

[Xixibg]

Какво делите или се опитвате да докажете не знам. За мен поведението ви е смешно. Написах всичко само в отговор на поста на "drago".

П.П. Май забравихте, че задачата седя без отговор повече от ден без някой да напише и ред по нея.

Просто ти не пишеш решение.Пишеш само някоя закономерност или отговор и започваш да обясняваш как доказателството било елементарно.Или напиши пълно решение или не пиши нищо.

[ptj]

(1) Редицата [tex]p_0,p_1,p_2,...,p_{k-1}[/tex] е съставена от последните [tex]k[/tex]цифри в десетичния запис на [tex]5^{(2^{k-1})}[/tex] в обратен ред.

Ще го докажем с индукция.

1.) При [tex]k=1[/tex] [tex]5^{(2^{k-1})}=5^{(2^{1-1})}=5^0=5[/tex] - исканото от нас твърдение е изпълено по условие [tex](p_0=5)[/tex] .

2.) Нека (1) e изпълнено до [tex]k[/tex], т.е. [tex]\bar {p_{k-1}p_{k-2}...p_{0}}\equiv 5^{(2^{k-1})}\pmod {10^k}[/tex] .

3.) Ще докажем, че (1) е изпълнено и за [tex](k+1)[/tex] или [tex]\bar {p_{k}p_{k-1}...p_{0}}\equiv 5^{(2^k)}\pmod {10^{k+1}}[/tex] .

Съгласно условието на задачата (1) е изпълнено и за цифрите на [tex](\bar {p_{k}p_{k-1}...p_{0}})^2[/tex]:

[tex]\Big(\bar {p_{k}p_{k-1}...p_{0}}\Big)^2=\left(10^kp_k +\bar {p_{k-1}p_{k-2}...p_{0}}\right)^2=[/tex]

[tex]=10^{k+1}\Bigg(10^{k-1}p_k^2+p_k\frac{\bar {p_{k-1}p_{k-2}...p_{0}}}{5 }\Bigg) +\Bigg(\bar {p_{k-1}p_{k-2}...p_{0}}\Bigg)^2
\equiv \Bigg(\bar {p_{k-1}p_{k-2}...p_{0}}\Bigg)^2 \pmod{10^{k+1}}\equiv[/tex]

[tex]\equiv \Bigg(10^kl+5^{(2^{k-1})}\Bigg)^2 \pmod{10^{k+1}}\equiv \Bigg(10^{k+1}\Big(10^{k-1}+5^{(2^{k-1})-1}\Big)+5^{(2^k)}\Bigg)\pmod{10^{k+1}}\equiv[/tex]

[tex]\equiv 5^{(2^k)}\pmod{10^{k+1}}[/tex]

[tex](\bar {p_{k-1}p_{k-2}...p_{0}})^2>10\bar {p_{k-1}p_{k-2}...p_{0}}[/tex] => [tex](\bar {p_{k-1}p_{k-2}...p_{0}})^2\equiv \bar {p_{k}p_{k-1}...p_{0}} \pmod{10^{k+1}}[/tex]

Обединявайки последните 2 равенства получаваме [tex]\bar {p_{k}p_{k-1}...p_{0}}\equiv 5^{(2^k)}\pmod {10^{k+1}}[/tex] (доказахме 3. )

Oт 1.) , 2.) и 3.) => (1) e изпълнено за произволно [tex]k[/tex].

[drago]

Трудно ми е да проследя това решение, но даже и да е вярно, остава въпроса с единствеността!

[ptj]

Излагаш се.

[drago]

Не искам да си губя времето да разгадавам неща, които не са ми интересни.
Тази задача, наистина не е сложна, но идеята която опитваш само усложнява нещата.
Най-логично е да се тръгне по следния път. Допускаме, че сме построили донякъде редицата, така че да удовлетворява условието. След това доказваме, че по един единствен начин може да се избере следващия член, така че пак да удовлетворява условието.

[ptj]

Аз правя точно, което си написал. В началото нарочно не формализирах решението за да стане ясна идеята на повечето, четящи форума.

[drago]

Аз бях до тук!

[Xixibg]

Това което е писал ptj не е чак толкова сложно , а и аз бих решавал задачата по подобен начин.С Индукцията можем да докажем и единственост.А че именно това е зависимостта не може да оспорваме.