Олимпиада, първи кръг, 2011

[strangerforever]

Задачата:



Чертежът в решението:



Който открие нередното, получава правото да узнае колко компетентни са повечето предлагащи задачите

[Mr.G{}{}Fy]

от СА-СГ [tex]AH<BH[/tex].

[strangerforever]

Верен отговор!

Продължаваме с компилацията:

Задача:

Дадена е геометрична прогресия. Първият, десетият и тридесетият член са естествени числа. Вярно ли е, че и двадесетият е естествено?

Решение (на участник):

Допускаме, че не е вярно. Разглеждаме прогресията с първи член 2 и частно 2, която отговаря на условията. Забелязваме, че двадесетият член е естествено число, което води до противоречие, откъдето следва, че твърдението е вярно.

Коректно или не?

[ptj]

"Некоректно". Начина на разглеждане не дава гаранция, че за друга прогресия твърдението също е "вярно".

Пр.1: [tex]a_1=1; q_1=2[/tex] - вярно
Пр.2: [tex]a_2=2^{14} ; q_2=\frac{1}{2 }[/tex] - невярно

Отговора е "не винаги" , т.е. " за някои прогресии е вярно, а за други не". Затова задачата може да се счита за некоректна - няма еднозначен отговор.

По принцип когато се дават задачи се изисква учениците да търсят някакви зависимости, а не да докажат че такива не съществуват.

[Mr.G{}{}Fy]

НЕ е ли възможно да искат да намериш зависимост кога е вярно и кога не?Ако въобще може да се намери такава.

[ptj]

Извинявам се, от недоглеждане съм прочел "тринадесетият член".

[Xixibg]

Дадена е геометрична прогресия. Първият, десетият и тридесетият член са естествени числа. Вярно ли е, че и двадесетият е естествено?

"Некоректно". Начина на разглеждане не дава гаранция, че за друга прогресия твърдението също е "вярно".

Пр.1: [tex]a_1=1; q_1=2[/tex] - вярно
Пр.2: [tex]a_2=2^{14} ; q_2=\frac{1}{2 }[/tex] - невярно

Отговора е "не винаги" , т.е. " за някои прогресии е вярно, а за други не". Затова задачата може да се счита за некоректна - няма еднозначен отговор.

По принцип когато се дават задачи се изисква учениците да търсят някакви зависимости, а не да докажат че такива не съществуват.

Пример 2:
[tex]a_{30}=?[/tex](тридесетият член колко е?)

[ptj]

[tex]a_1 \in N[/tex]
[tex]a_{10}=a_1.q^9\in N[/tex]
[tex]a_{30}=a_1.q^{29} \in N[/tex]

Задачата е написана некадърно:

[tex]a_{20}=a_1.q^{19}=a_{10}.q^{10}=a_{10}.\sqrt{\frac{a_{30}}{a_{10} } }=\sqrt{a_{10}.a_{30}}[/tex] - при даденото условие не може да се каже дали е естествено.

[rashi101]

Струва ми се, може да се докаже, че и двадесетият член е естествено число. Ще кажа как разсъждавам, пък вие ме поправете, ако греша.
При [tex]q\in Q[/tex] лесно се доказва, че [tex]a_{20}\in N[/tex].
Нека [tex]q \notin Q[/tex]. [tex]q^9\in Q[/tex], [tex]q^{29}\in Q[/tex], [tex]q^{29}=(q^9)^3q^2 \Rightarrow q^2\in Q[/tex]
[tex]q^{9}=(q^2)^3q \Rightarrow q\in Q[/tex]. Противоречие, значи [tex]q[/tex] е рационално и [tex]a_{20}[/tex] - естествено :)

[ptj]

Браво, това е добро решение. Трябва да си взема думите назад.

Имаш само малка неточност: "[tex]q^{9}=(q^2)^4q \Rightarrow q\in Q[/tex]. Противоречие..."

[rashi101]

Опс, да, печатна грешка :)

[ptj]

Поне си признавам навреме.

[strangerforever]

"Некоректно". Начина на разглеждане не дава гаранция, че за друга прогресия твърдението също е "вярно".

Пр.1: [tex]a_1=1; q_1=2[/tex] - вярно
Пр.2: [tex]a_2=2^{14} ; q_2=\frac{1}{2 }[/tex] - невярно

Отговора е "не винаги" , т.е. " за някои прогресии е вярно, а за други не". Затова задачата може да се счита за некоректна - няма еднозначен отговор.

По принцип когато се дават задачи се изисква учениците да търсят някакви зависимости, а не да докажат че такива не съществуват.

Това не е вярно. Когато се задава такъв въпрос, отговори са само "да" и "не". При положение, че е доказано, че не може да е "не", единственият възможен отговор е "да". Абсолютно коректно решение, на всички е ясно какво е искал да търсят учениците в тази задача авторът, проблемът е, че не се е постарал достатъчно, когато я е писал и учениците имат пълно право да се възползват по този начин.

[ptj]

Съгласен. На мен също не ми харесва условието.

П.П. Другото решение, което вече дадоха, ми се вижда тежко за 1-ви кръг.

[strangerforever]

Само за протокола, решението получи 0/10 точки.

[ptj]

Това не е ли училищен кръг? Може да се подаде контестация в "Отдел Просвета", има си инспектори ...

[grav]

Верен отговор!

Продължаваме с компилацията:

Задача:

Дадена е геометрична прогресия. Първият, десетият и тридесетият член са естествени числа. Вярно ли е, че и двадесетият е естествено?

Решение (на участник):

Допускаме, че не е вярно. Разглеждаме прогресията с първи член 2 и частно 2, която отговаря на условията. Забелязваме, че двадесетият член е естествено число, което води до противоречие, откъдето следва, че твърдението е вярно.

Коректно или не?

Това решение ли е получило 0/10 точки? Толкова и заслужава.

[strangerforever]

Чакам аргументи.

[grav]

Чакам аргументи.

За какво?

[strangerforever]

Чакам аргументи.

За какво?

Против "Това е въпрос, на който може да се отговори само с 'да' или 'не'. При доказана невъзможност за отговор 'не', отговорът е 'да'."

[grav]

Против "Това е въпрос, на който може да се отговори само с 'да' или 'не'. При доказана невъзможност за отговор 'не', отговорът е 'да'."

Къде е това доказателство? Ти ли си ученика?

[strangerforever]

Против "Това е въпрос, на който може да се отговори само с 'да' или 'не'. При доказана невъзможност за отговор 'не', отговорът е 'да'."

Къде е това доказателство? Ти ли си ученика?

Не, става въпрос за мой познат и не виждам какво значение има. Доказано е в посоченото решение, щом съществува 1 прогресия, за която е вярно, значи отговорът "не" е невъзможен, понеже той би бил възможен, само ако е вярно за всяка такава. Искам да ми посочиш грешното в решението, аргументирано, без празни приказки.

[mkmarinov]

Не е вярно. Допуска се, че единствените възможни изходи са или да е вярно за всяка прогресия, или да не е вярно за нито една.

[strangerforever]

Не е вярно. Допуска се, че единствените възможни изходи са или да е вярно за всяка прогресия, или да не е вярно за нито една.

Аха-а-а, значи на въпроса може да се отговори и с "Вярно е, ама само понякога : )"... Как ли не.

[ptj]

Предполага се, че условието е така зададено, че да съответства на еднозначен отговор. Поради тази причина когато ученика е показал една прогресия изпълняваща условието, то той е дал правилно решение.

На състезание, когато има грешна задача е достатъчен само един контрапример- без обосновка. Тук случая е аналогичен.