Тригонометрична (11кл, Общински, Стара Загора)

[rashi101]

Да се намерят всички стойности на [tex]\lambda[/tex], при които уравнението [tex]\frac{1}{sin x } + \frac{1}{cos x } =\lambda[/tex] има корен [tex]x[/tex], удовлетворяващ неравенството [tex]0<x<\frac{\pi}{2 }[/tex].

[tex]\lambda \ge 2\sqrt{2}[/tex] получавам, но няма с кого да си сравня отговора, та така :) Приятно решаване!

[strangerforever]

Да се намерят всички стойности на [tex]\lambda[/tex], при които уравнението [tex]\frac{1}{sin x } + \frac{1}{cos x } =\lambda[/tex] има корен [tex]x[/tex], удовлетворяващ неравенството [tex]0<x<\frac{\pi}{2 }[/tex].

[tex]\lambda \ge 2\sqrt{2}[/tex] получавам, но няма с кого да си сравня отговора, та така :) Приятно решаване!

Да.

[Mr.G{}{}Fy]

С полагане sinx+cosx ли я решихте ? Или има някакви тарикатски решения .Задачата не е трудна,просто накрая при проверяването,кога някой корен е в даден интервал се получават сметки,случаи и става досадничко.

[strangerforever]

С полагане sinx+cosx ли я решихте ? Или има някакви тарикатски решения .Задачата не е трудна,просто накрая при проверяването,кога някой корен е в даден интервал се получават сметки,случаи и става досадничко.

Може и с t = sinxcosx, на мен повече ми допадна.

[Mr.G{}{}Fy]

А как ще изразим [tex]sinx + cosx[/tex] с това полагане ? няма ли да стане [tex]\pm \sqrt{1+2t}[/tex].Просто нещо не се досещам сега.

[strangerforever]

А как ще изразим [tex]sinx + cosx[/tex] с това полагане ? няма ли да стане [tex]\pm \sqrt{1+2t}[/tex].Просто нещо не се досещам сега.

Ще вдигнеш на квадрат.

[Mr.G{}{}Fy]

Оффф,да.Ти използваш,че уравнението ни има 1 корен от там дадения си интервал и преди повдигането се ограничава само Ламбда-та.Всъщност това полагане в случая е възможно,защото при тези корени лявата страна е положителна и трябва и дясната да е и след това повдигането на квадрат е еквивалентно преобразувание.Но,ако x беше във втори квадрант тогава нямаше да знаем знака на лявата страна,а от там и на дясната и щеше да е по-удачно да положим sinx+cosx? Или греша?

[strangerforever]

Оффф,да.Ти използваш,че уравнението ни има 1 корен от там дадения си интервал и преди повдигането се ограничава само Ламбда-та.Всъщност това полагане в случая е възможно,защото при тези корени лявата страна е положителна и трябва и дясната да е и след това повдигането на квадрат е еквивалентно преобразувание.Но,ако x беше във втори квадрант тогава нямаше да знаем знака на лявата страна,а от там и на дясната и щеше да е по-удачно да положим sinx+cosx? Или греша?

Тогава да.

Понеже функциите sin, cos са непрекъснати в интервала [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex], знаем, че за да съществуват корени, принадлежщи на този интервал, необходимо и достатъчно условие е [tex](sinx + cosx) \in (0;\sqrt{2}][/tex]

Понеже от СА-СХ [tex]sinx + cosx \ge \frac{4}{\frac{1}{cosx} + \frac{1}{sinx}}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{4}{\frac{1}{cosx} + \frac{1}{sinx}} \le \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{cosx} + \frac{1}{sinx} \ge 2\sqrt{2}[/tex]

[rashi101]

Горният пост много ми харесва :) Аз писах [tex]m=sinx+cosx[/tex], [tex]n=sinxcosx[/tex] и правих система.
От [tex]y^2-my+n=0[/tex] ([tex]y_1=sinx[/tex], [tex]y_2=cosx[/tex]) имам [tex]m^2-4n>0[/tex]
[tex]m^2-2n=sin^2x+cos^2x=1[/tex] и след заместване в дискриминантата се получава [tex]n\le \frac{1}{2}[/tex]
[tex]m=\lambda n[/tex], значи [tex]n[/tex] e положителният корен на уравнението [tex]\lambda^2n^2-2n-1=0[/tex]
От [tex]n\le \frac{1}{2}[/tex] получавам [tex]f(\frac{1}{2})>0[/tex], откъдето [tex]\lambda\in (-\infty ;-2\sqrt{2} ]\cup [2\sqrt{2}; \infty)[/tex]
Но нали искам [tex]m>0[/tex] и [tex]n>0[/tex], a[tex]\lambda=\frac{m}{n}[/tex], значи [tex]\lambda>0[/tex].