Намерете сумата

[kerry]

[tex]S=1.2+4.4+7.8+...+(3n-2).2^n[/tex] ,където [tex]n\in N.[/tex]

Зад.3

[mkmarinov]

[tex]S_{n+1}-S_n=(3n+1)2^{n+1}[/tex]
Откъдето
[tex]S_n=(an^2+bn+c)2^n[/tex]
[tex]S_1=2a+2b+2c+d=2[/tex]
[tex]S_2=16a+8b+4c+d=19[/tex]
[tex]S_3=72a+24b+8c+d=75[/tex]

С решаване на системата се получава
[tex]S_n=(37n^2-51n+30)2^{n-4}[/tex]

[grav]

Разделяме на две суми и изпозваме, че
[tex]1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/tex]
и
[tex]1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)'[/tex]
заместваме с [tex]x=2.[/tex]

[drago]

Oще един начин просто заради идеята- смяна на реда на сумирането

[tex]\sum_{i=1}^n (3i-2) 2^i = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^{3i-2} 1 \right) 2^i =[/tex]

[tex]= \sum_{j=1}^n 1 \left ( \sum_{i=\lceil \frac{j+2}{3} \rceil}^n 2^i \right)[/tex]

Натататък е рутинно.

[Xixibg]

[tex]S_{n+1}-S_n=(3n+1)2^{n+1}[/tex]
Откъдето
[tex]S_n=(an^2+bn+c)2^n[/tex]
[tex]S_1=2a+2b+2c+d=2[/tex]
[tex]S_2=16a+8b+4c+d=19[/tex]
[tex]S_3=72a+24b+8c+d=75[/tex]

С решаване на системата се получава
[tex]S_n=(37n^2-51n+30)2^{n-4}[/tex]

[tex]S_1=2[/tex]
[tex]S_2=18[/tex]
[tex]S_3=74[/tex]
[tex]S_4=234[/tex]
.................
Нещо не ти е както трябва

[mkmarinov]

Да, преписал съм грешно.

[grav]

Oще един начин просто заради идеята- смяна на реда на сумирането

Добро.