Права на Ойлер

[Mr.G{}{}Fy]

Правата на Ойлер на един триъгълник го разделя на две равнолицеви части.Докажете,че този триъгълник е правоъгълен или равнобедрен.

[drago]

Това, което решава задачата е да се докаже, че права през медицентъра G няма как да разполовява лицето на триъгълник, освен ако не минава през негов връх.

[inveidar]

eee.jpg (24.88 KiB) Прегледано 358 пъти

Да допуснем, че правата [tex]A_{1}B_{1}[/tex] през медицентъра на АВС го разделя на две равнолицеви части и не минава през връх на триъгълника. Тъй като медианата АМ също прави това, то ясно е, че лицата на жълтите триъгълничета трябва да са равни. Като вземем впредвид и че лицата на AGN и BGM също са равни, лесно получаваме [tex]\frac{AA_{1}}{ AN}=\frac{MB_{1}}{ BM}[/tex].
Да построим [tex]A_{1}B_{2}||AB[/tex]. От теоремата на Талес следва, че [tex]\frac{AA_{1}}{AN }=\frac{BB_{2}}{BM }[/tex] и от преди малко доказаното следва [tex]BB_{2}=MB_{1}[/tex].
След това построяваме успоредника [tex]ABB_{2}A_{3}[/tex]. Имаме [tex]BB_{2}=AA_{3}[/tex]. От друга страна, като продължим [tex]B_{1}A_{1}[/tex] до пресичането и с [tex]AA_{3}[/tex] в точка [tex]A_{2}[/tex] и като вземем впредвид подобието на триъгълниците [tex]AGA_{2}[/tex] и [tex]MGB_{1}[/tex], а също така и [tex]AG>GM[/tex], получаваме [tex]MB_{1}<AA_{2}[/tex], но [tex]AA_{2}<AA_{3}=BB_{2}=MB_{1}[/tex]. Противоречие. Следователно правата през медицентъра разделя триъгълника на две равнолицеви части само ако минава и през връх на триъгълника.

[drago]

Малко по-алгебрично решение:
С означенията на чертежа по-горе, нека [tex]CG \cap AB = Q[/tex]. Означаваме [tex]x= \frac{CA_1}{CA},\, y=\frac{CB_1}{CB}[/tex].
Допускаме, че [tex]S_{A_1B_1C}= S/2[/tex]. Имаме:

[tex]\frac{S_{A_1GC}}{S_{CAQ}}= \frac{2}{3}x \Rightarrow S_{A_1CG}=\frac{2}{3}x \frac{S}{2}[/tex].

Аналогично:

[tex]S_{B_1CG} = \frac{2}{3}y \frac{S}{2}[/tex].

[tex]\frac{S}{2}= S_{A_1CG} + S_{B_1CG} = (\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}x) \frac{S}{2} \Rightarrow[/tex]

(1) [tex]x+y = \frac{3}{2}[/tex].

От друга страна:

[tex]\frac{S}{2} = S_{A_1B_1C}= xyS \Rightarrow[/tex]

(2) [tex]xy= \frac{1}{2}[/tex].

От (1) и (2)

[tex]x(\frac{3}{2}-x)=\frac{1}{2} \Rightarrow[/tex]

[tex]x=1[/tex] или [tex]x=\frac{1}{2}[/tex], съответно [tex]y=\frac{1}{2},\, y=1[/tex].