2 задачи от олимпиада 2012та

[lady__bird]

1213.jpg (56.43 KiB) Прегледано 353 пъти

Първа и трета задача. Някой може ли да ги реши?

[Xixibg]

1.[tex]a_n=\frac{1+2+....+n}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2.n^2}=\frac{n+1}{2.n}[/tex]
[tex]a_n-a_{n-1}=\frac{n+1}{2.n}-\frac{n-1+1}{2(n-1)}=\frac{(n+1)(n-1)-n^2}{2.n(n-1)}=-\frac{1}{2.n(n-1)}[/tex]
[tex]=>[/tex] Редицата е намаляваща.
[tex]\lim_{n\to\ \infty }\frac{n+1}{2.n}=\lim_{n\to\ \infty }\frac{n}{2.n}+\lim_{n\to\ \infty }\frac{1}{2.n}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>[/tex] Редицата е ограничена.

[lady__bird]

Мерси много!

[Xixibg]

[tex]AB=CD=a ; BC=AD=b[/tex]
Косинусова теорема за[tex]\triangle ABC , \triangle ABD[/tex]
[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.cos 120^\circ=a^2+b^2+ab[/tex]
[tex]BD^2=AB^2+BD^2-2AB.BD.cos 60^\circ =a^2+b^2-ab[/tex]
[tex]=>\frac{AC^2}{BD^2}=\frac{a^2+b^2+ab}{a^2+b^2-ab}=\frac{19}{7}[/tex]
[tex]=>7(a^2+b^2+ab)=19(a^2+b^2-ab) ; =>12(a^2+b^2)=26ab ; =>\frac{12a^2}{26ab}+\frac{12b^2}{26ab}=1[/tex]
[tex]=>\frac{6a}{13b}+\frac{6b}{13a}=1[/tex]
[tex]\frac{a}{b}=x ; =>\frac{b}{a}=\frac{1}{x}[/tex]
[tex]=>\frac{6}{13}.x+\frac{6}{13}\frac{1}{x}=1[/tex]
[tex]=>6x^2-13x+6=0[/tex]
[tex]D=169-144=24[/tex]
[tex]x_1=\frac{13+5}{12}=\frac{3}{2} ; x_2=\frac{13-5}{12}=\frac{2}{3}[/tex]

[grav]

1.[tex]a_n=\frac{1+2+....+n}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2.n^2}=\frac{n+1}{2.n}[/tex]

[tex]=\frac12+\frac1{2n}[/tex]

От тук нататък, повече от ясно.