Turkey TST 1998, Problem 2

[drago]

Нека[tex]t \in \mathbb{R}[/tex]. Редицата [tex]\{a_n\}_{n=1}^{\infty}[/tex] e дефинирана така: [tex]a_1=t,\, a_{n+1} = 4a_n(1-a_n),\, n \geq 1[/tex].

Колко възможни стойности има за [tex]t[/tex], ако е известно, че [tex]a_{1998}=0[/tex]?

[ptj]

[tex]a_{n+1}=-(a_n-2)^2+4[/tex]
[tex](a_n-2)^2=4-a_{n+1}[/tex]


[tex](a_{1997}-2)^2=4-a_{1998}=4-0=4[/tex]

[tex]|a_{1997}-2|=2[/tex] <=> [tex]a_{1997}=0[/tex] или [tex]a_{1997}=4[/tex]

Т.е. [tex](a_{1996}-2)^2=4-a_{1997}=4-0=4[/tex] или [tex](a_{1996}-2)^2=4-a_{1997}=4-4=0[/tex].

Получава се [tex]a_{1996}=0[/tex] или [tex]a_{1996}=4[/tex] (аналогично на резглеждането за [tex]a_{1997}[/tex]).

В крайна сметка всички членове на редицата могат да приемат само 2 стойности : [tex]0[/tex] или [tex]4[/tex] (в частност и [tex]t)[/tex].

[drago]

[tex]a_{n+1}=-(a_n-2)^2+4[/tex]
...

Това как стана ?!

[ptj]

Имам грешка.

[tex]a_{n+1}=-(2a_n-1)^2+1[/tex]

[tex](2a_n-1)^2=1-a_{n+1}[/tex]

Нататък идеята е ясна. Тръгваме отзад напред... Пак се получават само 2 стойности : 0 и 1.

[tex]t=0;1[/tex]

[drago]

Я още един път!

[ptj]

Утре пак. Драскам си на едни малки листчета и на задача средно се падат по 5кв.см.

[Xixibg]

Имам грешка.

[tex]a_{n+1}=-(2a_n-1)^2+1[/tex]

[tex](2a_n-1)^2=1-a_{n+1}[/tex]

Нататък идеята е ясна. Тръгваме отзад напред... Пак се получават само 2 стойности : 0 и 1.

[tex]t=0;1[/tex]

Само да вмъкна че [tex]t=\frac{1}{2}[/tex] е решение......

[Xixibg]

1.[tex]a_1<0 ; =>a_{2}<0 ; =>a_i<0 ; =>a_{1998}<0 ; =>[/tex] противоречие
[tex]=>t\ge0[/tex]
2.[tex]a_{n+1}=4a_n-4a_n^2 ; =>(1-2a_n)^2=1-a_{n+1}\ge 0 ; =>a_{n+1}\le1[/tex]
[tex]=>t\in [0;1][/tex]
Нека [tex]a_n=sin^2x[/tex]
[tex]=>a_{n+1}=4a_n(1-a_n)=4sin^2x.(1-sin^2x)=4sin^2x.cos^2x=(2sinx.cosx)^2=sin^2{2x}[/tex]
Нека [tex]a_1=t=sin^2{(\frac{\pi}{2^{1997}}) ; => a_{1998}=sin^2{(\frac{\pi}{2^{0}})=sin^2\pi =0[/tex]
[tex]=>t=sin^2{(\frac{\pi}{2^i}) , i=0,1,2.......,1997[/tex]

[drago]

Хм,..., това е хубава идея, да се докаже, че ако [tex]a_n=\sin^2 x[/tex], то [tex]a_{n+1} = sin^2 2x[/tex]. Не бях се замислял, моето решение е по-различно.

Обаче след това си го оплескал.

[ptj]

[tex]a_n=\sin^2 (\frac{x}{4 })=\frac{1-\cos(\frac{x}{2 }) }{2 }[/tex]; [tex]a_{n+1} = sin^2(\frac{x}{2 }) =\frac{1-cosx}{2 }[/tex].
Тъй като решението на [tex]a_{1998}=0[/tex] e [tex]x=2k\pi[/tex] , то [tex]a_1=\frac{1-\cos( \frac{k\pi }{2^{1996} }) }{ 2}[/tex]

Нека [tex]\frac{1-\cos( \frac{k_1\pi }{2^{1996} }) }{ 2}=a_1=\frac{1-\cos( \frac{k_2\pi }{2^{1996} }) }{ 2} <=>[/tex]

[tex]<=> \frac{k_1\pi }{2^{1996} }=\frac{k_2\pi }{2^{1996} } + 2l\pi <=> k_1-k_2=2^{1997}l <=> k_1-k_2\equiv l \pmod {2^{1997}}[/tex].

[tex]t[/tex] може да приема [tex]2^{1997}[/tex] стойности.

П.П. Отговора на xixibg e почти същия (липсва [tex]k[/tex]), но не е обосновал колко са различните стойности на [tex]t[/tex].

[drago]

Защо не мога да ти разбирам какво пишеш ?!
Както и да е, отговорът не е точен.

[ptj]

Дай твоето решение тогава, защото моето само доуточнява това на [tex]Xixibg[/tex].

[Xixibg]

Хм,..., това е хубава идея, да се докаже, че ако [tex]a_n=\sin^2 x[/tex], то [tex]a_{n+1} = sin^2 2x[/tex]. Не бях се замислял, моето решение е по-различно.

Обаче след това си го оплескал.

Нещо не можах да разбера къде точно съм оплескал според теб?
Аз получавам решения:[tex]t_i=sin^2{\frac{\pi }{2^{1997}} ; i=0,1,2,....,1997[/tex]
Ако [tex]a_n=0[/tex] то всички останали членове на редицата са равни на 0.От тук на татък решенията са ако [tex]a_1=0[/tex],ако [tex]a_2=0[/tex] и т.н....[tex]a_{1998}=0[/tex] и на брой са 1998

[ptj]

Хм,..., това е хубава идея, да се докаже, че ако [tex]a_n=\sin^2 x[/tex], то [tex]a_{n+1} = sin^2 2x[/tex]. Не бях се замислял, моето решение е по-различно.

Обаче след това си го оплескал.

Нещо не можах да разбера къде точно съм оплескал според теб?
Аз получавам решения:[tex]t_i=sin^2{\frac{\pi }{2^{1997}} ; i=0,1,2,....,1997[/tex]
Ако [tex]a_n=0[/tex] то всички останали членове на редицата са равни на 0.От тук на татък решенията са ако [tex]a_1=0[/tex],ако [tex]a_2=0[/tex] и т.н....[tex]a_{1998}=0[/tex] и на брой са 1998

Решението на [tex]sin^2(x)=0[/tex] e [tex]x=k\pi[/tex], а не само [tex]x=0[/tex]. Тогава [tex]a_1=\sin^2\left(\frac{k\pi }{2^{1997} }\right)[/tex]. Накрая остава да намериш колко различни стойности приема получения израз за [tex]a_1[/tex]...

[Xixibg]

Решението на [tex]sin^2(x)=0[/tex] e [tex]x=k\pi[/tex], а не само [tex]x=0[/tex]. Тогава [tex]a_1=\sin^2\left(\frac{k\pi }{2^{1997} }\right)[/tex]. Накрая остава да намериш колко различни стойности приема получения израз за [tex]a_1[/tex]...

[tex]sinx[/tex] е периодична функция с период[tex]2\pi[/tex]
[tex]=>sin^2x[/tex] е периодична функция с период[tex]\pi[/tex]
[tex]t[/tex] е числената стойност на [tex]sin^2x ; =>[/tex] може да ограничим [tex]x\in [0;\pi ][/tex],което съм направил (Е вярно че не съм го описал ама.... ).
Колко различни стойности приема [tex]t[/tex] съм написал,но не съм обобщил.

..................................................
[tex]=>t=sin^2{(\frac{\pi}{2^i}) , i=0,1,2.......,1997[/tex]

Както се вижда броя на възможните стойности за [tex]i[/tex] е 1998

А какво точно е оплескано според "drago" очаквам да науча от него.

[ptj]

Провери например, че [tex]t_1=sin^2(\frac{5\pi }{8 })[/tex] e решение, а ти не го хващаш.

[ptj]

Нека [tex]a_n=\sin^2 (\frac{x}{4 })=\frac{1-\cos(\frac{x}{2 }) }{2 }[/tex].

[tex]a_{n+1} = sin^2(\frac{x}{2 }) =\frac{1-cosx}{2 }[/tex]

Тъй като решението на [tex]a_{1998}=0[/tex] e [tex]x=2k\pi[/tex] , то [tex]a_1=t_1=\frac{1-\cos( \frac{k\pi }{2^{1996} }) }{ 2}[/tex]

Нека две от стойностите за [tex]t_1[/tex] са равни:
[tex]\frac{1-\cos( \frac{k_1\pi }{2^{1996} }) }{ 2}=a_1=\frac{1-\cos( \frac{k_2\pi }{2^{1996} }) }{ 2}[/tex] <=> [tex]\cos( \frac{k_1\pi }{2^{1996} }) = \cos( \frac{k_2\pi }{2^{1996} })[/tex] <=>

<=> [tex]\frac{k_1\pi }{2^{1996} }=\mp \frac{k_2\pi }{2^{1996} } + 2l\pi[/tex] <=>[tex]k_1\pm k_2=2^{1997}l[/tex] <=>

<=> [tex]k_1\pm k_2\equiv 0 \pmod {2^{1997}}[/tex].

Т.е броя на различните остатъци, не изпълняващи горното сравнение, е точно [tex]t_1[/tex], а то може да приема [tex]2^{1996}[/tex] стойности.

П.П. Мисля, че това е правилния отговор.

[drago]

Правилният отговор е [tex]2^{1996} + 1[/tex].

Сега отначало, с идеята на Хихибг.

Полагаме
(1) [tex]t = sin^2 x,\, t \in [0,1],\, x \in [0, \frac{\pi}{2}][/tex].

(2) [tex]a_n = sin^{2} (2^{n-1}x)[/tex].

[tex]a_n=0 \Rightarrow 2^{n-1}x= k\pi \Rightarrow x= \frac{k\pi}{2^{n-1}}[/tex].

От (1) =>

(3) [tex]0 \leq \frac{k\pi}{2^{n-1}} \leq \frac{\pi}{2}[/tex].

=> [tex]k=0,1,\dots,2^{n-2}[/tex], т.е. имаме [tex]2^{n-2} +1[/tex] възможни стойности за [tex]x[/tex], респ. за [tex]t[/tex].

Това решение е елегантно, но използва много съществено свойството (2) на редицата. Един друг подход е малко по-тромав, но става за доста по-общ клас рекурентни зависимости.
Може да го видите тук: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=449144

[ptj]

Разбрах защо моя отговор бе с 1 по-малък: 0-лата няма симетричен остатък.

[Xixibg]

И аз разбрах какво съм оплескал