United Kingdom, 1995

[mkmarinov]

Нека a,b,c са реални числа, удовлетворяващи
[tex]a<b<c[/tex]
[tex]a+b+c=6[/tex]
[tex]ab+bc+ca=9[/tex]

Докажете, че [tex]0<a<1<b<3<c<4[/tex]

[martosss]

[tex]a=6-(b+c)\\bc+(b+c)[6-(b+c)]=9\Right b^2+(c-6)b+c^2-6c+9=0\:\:\:\:(1)\\D=-3c(c-4)\ge 0\Right0\le c\le 4[/tex]
c=0 невъзможно, защото a+b+c<0
c=4 също, защото получаваме a=b=1
=> [tex]\fbox{0<c<4}[/tex]

[tex]a+c=6-b\Right ac+b(6-b)=9\Right ac=(3-b)^2[/tex]
b=3 е невъзможно, защото тогава a+c=3 и ac=0 => ac>0=> [tex]\fbox{a>0}[/tex]

при b>3 => c>b>3, a>0 => a+b+c>6
при b=3 казахме, че е невъзможно
=> [tex]\fbox{b<3}[/tex]
Сега от (1) аналогично при c=6-(a+b) получаваме =>
[tex]ab+(6-(a+b)(a+b)=9\Right[/tex]
[tex](a-b)^2 +3ab-6(a+b)+9=0\Right ab-2a-2b+3\le 0\\(a-2)(b-2)\le 1[/tex]
Оттук при b≤1 => a-2<b-2 ≤-1 => (a-2)(b-2)>1 !
Тогава [tex]\fbox{b>1}[/tex]


Пф... в последните две неравенства нещо имам грешка и не ми излизат... може би на свеж ум по-късно...

[martosss]

Ето че измъдрих края:
c=6-(a+b) и заместваме във второто у-е:
[tex]ab+(a+b)(6-(a+b))=9\\(a+b)^2-6(a+b)-ab+9=0\\((a+b)-3)^2=ab\\(a+b)-3=\pm\sqrt{ab}\\b-3=\sqrt a(\pm\sqrt b-\sqrt a)<0\\\pm\sqrt b-\sqrt a<0\Right \fbox{\sqrt a>\pm\sqrt b}[/tex]
От последното получаваме, че минусът е невъзможен, откъдето
[tex]a+b-3=-sqrt{ab}<0\Right a+b<3\Right a+b+c<6+c\Right \fbox{c>3}[/tex]
Остава последното:
[tex]9=ac+c(a+b)>ac+a+c\Right 8>(a+1)(c+1)>(a+1)*4\Right \fbox{a<1}[/tex]
С това доказателството е завършено.

[mkmarinov]

Добро решение!

Аз тръгвам от следната идея: нека [tex]f(x)=x^3-6x^2+9x-abc[/tex], който със сигурност има 3 корена. Трябва да докажем, че корените на този полином са наредени както a,b,c.
[tex]f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)[/tex]
От това и теоремата за средната стойност знаем, че [tex]a<1<b<3<c[/tex]. Остава само да се докаже, че [tex]0<a[/tex], [tex]c<4[/tex].
[tex]f(1)=4-abc>0[/tex], но [tex]f(4)=4-abc>0[/tex] => [tex]f(4)>f(c)[/tex] (и е растяща) => [tex]4>c[/tex]
[tex]f(3)=-abc<0[/tex], аналогично [tex]0<a[/tex]

[martosss]

Аааа, твоето е по-добре Браво!