Функция над целите числа

[kucheto]

Да се намерят всички функции[tex]f:Z\to Z[/tex], изпълняващи
[tex]f(x^3+y^3+z^3)=f^3(x)+f^3(y)+f^3(z)[/tex]
за всички [tex]x,y,z\in Z[/tex]

[ptj]

Константата [tex]f(x)=0[/tex] изпълнява условието, затова без загуба на общност по долу може да считаме [tex]f(x)[/tex] за друга функция.

[tex]f(0)=f(0^3+0^3+0^3)=3f^3(0)[/tex] => [tex]f(0)=0[/tex]

[tex]f(0)=f(x^3+(-x)^3+0)=f^3(x)+f^3(-x)+f(0)=f^3(x)+f^3(-x)[/tex] => [tex]f(x)=-f(-x)[/tex]

[tex]f(1)=f(1^3)=f(1^3+0+0)=f^3(1)[/tex] => [tex]|f(1)|=1[/tex]

[tex]f(2)=f(1^3+1^3+0)=f^3(1)+f^3(1)=2f(1)[/tex]

С индукция лесно се доказва, че [tex]f(x)=x.f(1)[/tex].

Тогава има само три функции изпъняващи условието:[tex]f(x)=\begin{cases}
0 \\
x\\
-x\end{cases}[/tex]

[grav]

ptj, функцията [tex]f(x)=x[/tex] също е такава.

[ptj]

Намерих си грешката. Мисля, че корекцията е правилна.

[martosss]

[tex]f(0)=f(0^3+0^3+0^3)=3f^3(0)[/tex] => [tex]f(0)=0[/tex]

Не си доказал, че [tex]f(0)\ne \pm \frac{1}{\sqrt 3}[/tex]
Същото е в сила и по-нататък, за f(1) имаш 3 варианта - 1, -1 или 0

[grav]

Как доказваш, че [tex]f(0)\ne \pm \frac{1}{\sqrt 3}[/tex]
Същото е в сила и по-нататък, за f(1) имаш 3 варианта - 1, -1 или 0

Нали функцията приема цели стойности.

[kucheto]

Не може цяла функция да има ирационален образ! Но за това, че f(1) може и да е 0 трябва да се помисли, но тогава би трябвало и f(x)=0, което е споменато като решение.

[martosss]

Аз принципно си го докзаах, но е добре да се опише както трябва:
[tex]f(1)=f(1^3+0^3+0^3)=f(1^3+(-1)^3+1^3)=\\f^3(1)+2f^3(0)=f^3(1)+f^3(-1)+f^3(1)=2f^3(1)-f^3(1)=f^3(1)\Right\\\Right 2f^3(0)=0\Right f(0)=0[/tex]
По-нататък е така.
Това, което ми е интересно, е че някои числа като че ли не могат да се представят, примерно f(4),f(5)

[grav]

Това, което ми е интересно, е че някои числа като че ли не могат да се представят, примерно f(4),f(5)

Не всички числа са сума на три куба (разглеждаш по модул 9), ако това си имал предвид.

[martosss]

да, това имах предвид, а ти какво предлагаш да разглеждам по модул 9?
А иначе наистина не съобразих, че [tex]\pm\frac{1}{\sqrt 3}[/tex] не е цяло

[kucheto]

Не всички числа са сума на три куба.

Това трябва да бъде споменато, защото индукцията в такъв случай не върви!

[grav]

да, това имах предвид, а ти какво предлагаш да разглеждам по модул 9?

Кубовете по модул 9 са 0,-1, или 1. Ако числото е сума на три куба, то по модул 9 ще е 0, 1, 2, 3, -1, -2, -3, нама как да е 4 или 5 по модул 9.

[grav]

Това трябва да бъде споменато, защото индукцията в такъв случай не върви!

Добра забележка.

[ptj]

[tex]f(0)=f(0^3+0^3+0^3)=3f^3(0)[/tex] => [tex]f(0)=0[/tex]

Не си доказал, че [tex]f(0)\ne \pm \frac{1}{\sqrt 3}[/tex]
Същото е в сила и по-нататък, за f(1) имаш 3 варианта - 1, -1 или 0

1.)Виж условието: [tex]f(x) \in Z[/tex] .

2.)[tex]f(1)=0[/tex] влече [tex]f(x)=0[/tex], а аз изрично казах, че разглеждам останалите случаи.