НОМ(Общински кръг-2008)

[gsinekliev]

зад 3:
Даден е изразът [tex]f(x) = \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}{(a.6^x - 36^x)}[/tex]
a) Да се реши неравенството [tex]f(x)\ge -2[/tex] при [tex]a = 6[/tex]
б) Да се намери границата [tex]lim_{a \rightarrow \infty}{(m(a)+4(log_{5}{a+1})}[/tex], където m(a) е най-малката стойност на f(x).

Малко помощ при б) няма да ми е излишна. Намирам [tex]m(a)=\frac{a^2}{4}[/tex]и на самата граница зацепвам. Моля използвайте материал до 12 клас.

[martin123456]

да попитам [tex]f(x) = \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}a.6^x - 36^x[/tex] или [tex]f(x) = \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(a.6^x - 36^x)[/tex]. то май е ясно от скобите в кода, но все пак

[martin123456]

аз получих след полагане че [tex]max(\log_{5}{(a6^x-36^x)})=\frac{a^2}{4}[/tex], а [tex]f(x)=-2\log_{5}{(a6^x-36^x)}[/tex] и значи мин стойнсост му е [tex]-\frac{a^2}{2}[/tex] и сега границата става [tex]\lim_{a \rightarrow \infty}{(-\frac{a^2}{2}+4\log_{5}{a}+1)}[/tex]. съгласен ли си за да мисля за границата?
иначе твоята дето си написал е безкрайност, понеже е сума от безкрайност, безкрайност и 1

[gsinekliev]

Да, грешката е моя ,наистина. Но сега като гледам задачата виждам друго:
Разглеждам функцията [tex]g(x)= a.6^x - 36^x[/tex]. Ако положим [tex]6^x = u[/tex], можем да намерим максималната стойност на g(x).Тя се достига при [tex]u = \frac{a}{2}( x = \log_{6}{\frac{a}{2}})[/tex] . Понеже за това хикс за което се постига максимум на g(x) се достига минимум на f(x) (тя е намаляваща) аз получавам че [tex]f( \log_{6}{\frac{a}{2}})[/tex] е минималната стойност. Така се получава че [tex]m(a) = \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{a^2}{4}}.[/tex]
Може и да греша обаче твоят максимум не трябва ли да се получи[tex]\log_{5}{\frac{a^2}{4}}[/tex] , а не [tex]\frac{a^2}{4}[/tex]

[martin123456]

всъщност май пак си прав. аз съм се объркал горе с максимума - той е на вътрешната функция
ороверих и си прав за минимума.

[gsinekliev]

И все пак въпроса остава: Как да се пресметне граница с логаритъм от един дванадесетокласник. Иначе аз получавам за границата:
[tex]\lim_{a \rightarrow \infty}(4\log_{5}{\frac{2a+2}{a} +1) }[/tex]
Няколко пъти я проверих, дано да е вярна.

[martin123456]

[tex]\lim_{a \rightarrow \infty}(4\log_{5}{(2+\frac{2}{a}) +1) } \rightarrow 4\log_{5}{2}+1[/tex]