Максимална стойност

[ganka simeonova]

Да се намери точка Р вътре в триъгълника АВС, за която произведението
[tex]AB_1.BC_1.CA_1[/tex] има максимална стойност [tex](A_1=AP\cap BC; B_1=BP\cap CA; C_1=CP\cap AB)[/tex].

[mkmarinov]

[tex]AB_1.BC_1.A_1C=B_1C.C_1A.A_1B[/tex] от теоремата на Чева. Разглеждайки квадрата на това произведение,
[tex](AB_1.B_1C)(BC_1.C_1A)(CA_1.A_1B) \le (\frac{abc}{8})^2[/tex] от СА-СГ.
Равенство когато [tex]A_1, B_1, C_1[/tex] са среди. Остава да се докаже съществуването на точка Р в този случай, което е добре известен факт.

[ganka simeonova]