Без производни?

[xexe]

Някой може ли да докаже, без да използва производни, неравенството

[tex]a^{x}+1<(a+1)^{x}[/tex], където [tex]a>1,x>1[/tex] ?

[Xixibg]

Разкриваш скобите :
[tex]a^x+1<a^x+1+g(x)[/tex] ,където [tex]g(x)>0[/tex] е сбор от положителни едночлени.

[grav]

Разкриваш скобите :
[tex]a^x+1<a^x+1+g(x)[/tex] ,където [tex]g(x)>0[/tex] е сбор от положителни едночлени.

I ako x ne e tsialo?

[xexe]

Не става така! Хикс може и да не е цяло число!

[0xdeadbeef]

[tex]a^{x}+1<(a+1)^{x} \Leftrightarrow (\frac{a}{a+1})^x + (\frac{1}{a+1})^x < 1[/tex].
Отляво имаме сума на намаляващи функции, значи
[tex](\frac{a}{a+1})^x + (\frac{1}{a+1})^x < \frac{a}{a+1} + \frac{1}{a+1} = 1[/tex].

[xexe]

Да. Мисля, че става така.