Без производни - 2

[xexe]

Докажете, без да използвате производни, че функцията [tex]y=log_{t}(t-1)[/tex], където [tex]t>1[/tex], е растяща.

[strangerforever]

Докажете, без да използвате производни, че функцията [tex]y=log_{t}(t-1)[/tex], където [tex]t>1[/tex], е растяща.

Допускаме, че:

[tex]log_{t}(t-1) \ge log_{t+1}t \Leftrightarrow \frac{lg(t-1)}{lgt} \ge \frac{lgt}{lg(t+1)} \Leftrightarrow lg(t-1)lg(t+1) \ge (lgt)^2[/tex]

Ако [tex]lg(t-1) < 0[/tex], т.е. [tex]t \in (1;2)[/tex] лявата е отрицателна, дясната - неотрицателна, противоречие.

Ако [tex]lg(t-1) \ge 0[/tex], прилагаме AM-GM и достигаме до:

[tex]lg(t-1)lg(t+1) \le \frac{(lg(t^2 - 1))^2}{4} \le \frac{(lg(t^2))^2}{4} = (lgt)^2[/tex]

Равенство имаме тогава и само тогава, когато [tex]lg(t-1) = lg(t+1)[/tex], но това е невъзможно, значи горното неравенство е строго и достигаме до противоречие отново.

С [tex]lg(x)[/tex] бележим [tex]log_{10}x[/tex]

[mkmarinov]

Ако [tex]t>1[/tex] и f е растяща, монотонността на [tex]t^{f(t)}[/tex] е същата като монотонността на f(t). В този случай [tex]t^{f(t)}=t-1[/tex]

[xexe]

Докажете, без да използвате производни, че функцията [tex]y=log_{t}(t-1)[/tex], където [tex]t>1[/tex], е растяща.

Допускаме, че:

[tex]log_{t}(t-1) \ge log_{t+1}t \Leftrightarrow \frac{lg(t-1)}{lgt} \ge \frac{lgt}{lg(t+1)} \Leftrightarrow lg(t-1)lg(t+1) \ge (lgt)^2[/tex]

Ако [tex]lg(t-1) < 0[/tex], т.е. [tex]t \in (1;2)[/tex] лявата е отрицателна, дясната - неотрицателна, противоречие.

Ако [tex]lg(t-1) \ge 0[/tex], прилагаме AM-GM и достигаме до:

[tex]lg(t-1)lg(t+1) \le \frac{(lg(t^2 - 1))^2}{4} \le \frac{(lg(t^2))^2}{4} = (lgt)^2[/tex]

Равенство имаме тогава и само тогава, когато [tex]lg(t-1) = lg(t+1)[/tex], но това е невъзможно, значи горното неравенство е строго и достигаме до противоречие отново.

С [tex]lg(x)[/tex] бележим [tex]log_{10}x[/tex]

Ти взимаш [tex]t[/tex] и [tex]t+1[/tex]. Това не е достатъчно. Трябва да опровергаеш горното неравенство за произволно число, по-голямо от [tex]t[/tex].

[xexe]

Ако [tex]t>1[/tex] и f е растяща, монотонността на [tex]t^{f(t)}[/tex] е същата като монотонността на f(t). В този случай [tex]t^{f(t)}=t-1[/tex]

И как се доказва това за монотонността без производни?

[strangerforever]

Така е, доказал съм го само за цели t.

[mkmarinov]

Ако [tex]t>1[/tex] и f е растяща, монотонността на [tex]t^{f(t)}[/tex] е същата като монотонността на f(t). В този случай [tex]t^{f(t)}=t-1[/tex]

И как се доказва това за монотонността без производни?

Изключително трудно! Ако u>v>1 и f(u)>f(v)
[tex]u^{f(u)}>v^{f(u)}>v^{f(v)}[/tex]
Тези нали са ясни откъде идват и без производни?

[xexe]

На мен ми е ясно, но на теб май не ти е съвсем ясно какво си написал! Трябва да докажеш, че ако [tex]u^{f(u)}>v^{f(v)}[/tex], то [tex]f(u)>f(v)[/tex]. Иначе нищо не следва.

[inveidar]

Изключително трудно! Ако u>v>1 и f(u)>f(v)
[tex]u^{f(u)}>v^{f(u)}>v^{f(v)}[/tex]
Тези нали са ясни откъде идват и без производни?

И какво доказваш така? Ако u,v>1 и [tex]log_{u}(u-1)>log_{v}(v-1)[/tex], то u-1>v-1? А трябва да докажеш обратното.

[xexe]

Ако искате, да пусна решение?

[mkmarinov]

"Хитро" решение на тривиална задача? Нямаме нищо напротив

[xexe]

Няма нищо смешно. В учебния материал няма производни на показателни и логаритмични функции. А въпросната задача би могла да се използва за решаване на други задачи. По-късно ще дам една такава. Ти убеди ли се, че "елементарното" ти решение не върви?

[grav]

xexe, каква е дефиницията на логаритмична и показателна функция?

[xexe]

xexe, каква е дефиницията на логаритмична и показателна функция?

На показателна: Функция от вида [tex]y=a^{x[/tex], където а е реално положително число, различно от 1, а х е независимата променлива.
Аналогично е определението и за логаритмичната функция. Вие не знаете ли какво пише в учебниците?
Няма никъде в профилирната подготовка производна на логаритмична и показателна функция. Имаше го по-рано, но сега - не. Да не говорим пък за обратни функции и други подобни.
Не мога да разбера какъв ви е проблема? Задачата е да се докаже без производни, че въпросната функция е растяща. Ако можете да го докажете - докажете го. Ако не можете, не обсъждайте качеството на задачата, ако е възможно?

[Mr.G{}{}Fy]

Дай решение направо ... И да се разправяте и да не се разправяте до консенсус явно няма да се стигне А иначе щом в учебника ги няма производни на такива функции от къде се учат?В смисъл да е обяснено,а не да има само задачи.

[grav]

xexe, каква е дефиницията на логаритмична и показателна функция?

На показателна: Функция от вида [tex]y=a^{x[/tex], където а е реално положително число, различно от 1, а х е независимата променлива.

Това не е дефиниция! Какъв е смисъла на [tex]a^x[/tex]? Все пак не става дума за цели числа. Каква е дефиницията?

[xexe]

Добре. Функцията, която се получава, като на вяко реално число а се съпоставя числото [tex]a^{x}[/tex]. Точно това е определението в учебника на Анубис. И защо задаваш този въпрос? Ще се изпитваме ли?!
В училище функция се вика на съпоставянето по дадено правило на числа от едно множество, наречено дефиниционно, на числа от друго множество(множество от стойности), като на всяко число от първото множество трябва да съответства точно едно число от второто множество. Най-общо казано.

[xexe]

Дай решение направо ... И да се разправяте и да не се разправяте до консенсус явно няма да се стигне А иначе щом в учебника ги няма производни на такива функции от къде се учат?В смисъл да е обяснено,а не да има само задачи.

Ми учат се във висшите учебни заведения. Също така в средното училище в Румъния, Русия и т.н

[xexe]

Това не е дефиниция! Какъв е смисъла на [tex]a^x[/tex]? Все пак не става дума за цели числа. Каква е дефиницията?

[tex]a^x[/tex] е степен с положителна основа. Когато показателят е цяло, положително число n, то [tex]a^{n}=a.a...a[/tex], като произведението в дясната страна се състои от n на брой множители а.
Когато показателят е 0, то [tex]a^{0}=1[/tex]. Когато.... Целият учебник ли да цитирам?!

[grav]

Добре. Функцията, която се получава, като на вяко реално число а се съпоставя числото [tex]a^{x}[/tex]. Точно това е определението в учебника на Анубис. И защо задаваш този въпрос? Ще се изпитваме ли?!
В училище функция се вика на съпоставянето по дадено правило на числа от едно множество, наречено дефиниционно, на числа от друго множество(множество от стойности), като на всяко число от първото множество трябва да съответства точно едно число от второто множество. Най-общо казано.

Не питам за това какво е функция, а как едефинирано това числото [tex]a^x[/tex]?

[tex]a^x[/tex] е степен с положителна основа. Когато показателят е цяло, положително число n, то [tex]a^{n}=a.a...a[/tex], като произведението в дясната страна се състои от n на брой множители а.
Когато показателят е 0, то [tex]a^{0}=1[/tex]. Когато.... Целият учебник ли да цитирам?!

Хубаво, а когато аргумента е релано число, как се дефинира? Например [tex]5^\pi[/tex] или [tex]2^{\sqrt{3}}[/tex].

[xexe]

Ами за рационални числа е ясно. Всяко рационално число е от вида [tex]\frac{m}{n }[/tex], където числителят е цяло число, а знаменателят - цяло, положително число. Тогава [tex]a^{x}=\sqrt[n]{a^{m}}[/tex].
Ако числото е ирационално, то се разглеждат приближенията му с излишък и недостиг от рационални числа и така получаваме две безкрайни числови редици ограничаващи числото отляво и отдясно. После разглеждаме редиците от степени с основа а и степенни показатели приближенията отляво и отдясно. Може да докажем, че тези редици са сходящи и границите им съвпадат, точно тази граница и приемаме за [tex]a^{x}[/tex]. Ти не си ли ги учил по този начин?
Да не си от друга държава?!

[grav]

Така съм ги учил. Но ето, че за самата дефиниция на функцията се искат граници, също така това може да се докаже, че... не е лесно. В същото време казваш, да се реши без производни. А, какво са производните, определен тип граници.

[xexe]

Обещаното решение: Първи случай. Нека [tex]t_{2}>t_{1},t_{1}<2[/tex]. Тогава
[tex]log_{t_{2}}(t_{2}-1)>log_{t_{1}}(t_{1}-1) \Leftrightarrow \frac{log_{t_{1}}(t_{2}-1)}{ log_{t_{1}}t_{2}}>log_{t_{1}}(t_{1}-1) \Leftrightarrow log_{t_{1}}(t_{2}-1)>log_{t_{1}}(t_{1}-1). log_{t_{1}}t_{2}[/tex] (1)

От друга страна [tex]log_{t_{1}}(t_{2}-1)>log_{t_{1}}(t_{1}-1)[/tex] (2)

и също така [tex]log_{t_{1}}(t_{1}-1).(1-log_{t_{1}}t_{2})>0[/tex] ([tex]t_{1}-1<1[/tex] в този случай),

т.е [tex]log_{t_{1}}(t_{1}-1)>log_{t_{1}}(t_{1}-1).log_{t_{1}}t_{2}[/tex] (3).

Сега е ясно, че от (2) и (3) следва (1).

Вторият случай - довечера. За начало ще кажа, че се използва неравенството от поста Без производни.

[xexe]

Така съм ги учил. Но ето, че за самата дефиниция на функцията се искат граници, също така това може да се докаже, че... не е лесно. В същото време казваш, да се реши без производни. А, какво са производните, определен тип граници.

Да, де, но границите не са определен вид производни, нали?

[ganka simeonova]

grav, отвори един учедник за 10 клас и виж, как се дефинира степен с реален аргумент!