Характеристични свойства на забележителни точки в триъгълник

[kucheto]

Даден е остроъгълен триъгълник ABC. Да се докаже, че при стандартни означения са изпълнени следните условия за забележителните му точки:

[tex]1.\ OI||AB\Leftrightarrow cos\alpha+cos\beta=1\\
2.\ GH||AB\ (OG||AB,\ HO||AB)\Leftrightarrow tg{\alpha}tg\beta=3\\
3.\ GI||AB\Leftrightarrow tg\frac{\alpha}{2}tg\frac{\beta}{2}=\frac{1}{3}\\
4.\ IH||AB\Leftrightarrow (tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2})^2-3tg^2\frac{\alpha}{2}tg^2\frac{\beta}{2}=1[/tex]

П.С. На последното подусловие това е най-добрият вариант, който измислих. Ще се надявам на по-добър.
Правилното място на тази тема е Геометрия, но реших, че тук ще има повече желаещи за решаване.

[ganka simeonova]

2) http://estoyanov.net/forum/viewtopic.php?f=34&t=81
И понеже О, G, H лежат на една права=> условията от 2) са еквивалентни:)

[ganka simeonova]

3)Един красив факт:) Когато [tex]IG||AB<=>2c=a+b[/tex]- доказва се много лесно с лица и е хубаво да се знае. Тогава=>
[tex]sin\alpha +sin\beta =2sin(\alpha +\beta )=>2sin{\frac{\alpha +\beta }{2} } .cos{\frac{\alpha -\beta }{2} } =4sin{\frac{\alpha +\beta }{2} } .cos{\frac{\alpha +\beta }{2} }[/tex]=>

[tex]cos{\frac{\alpha }{ 2}} cos{\frac{\beta }{ 2}} +sin{\frac{\alpha }{ 2}} sin{\frac{\alpha }{ 2}} = 2cos{\frac{\alpha }{ 2}} cos{\frac{\beta }{ 2}} -2sin{\frac{\alpha }{ 2}} sin{\frac{\alpha }{ 2}}[/tex]=>

[tex]tg{\frac{\alpha }{ 2}tg{\frac{\beta }{ 2}}=\frac{1}{ 3}[/tex]