Ако ab+bc+ac=1 то (a+1)(b+1)(c+1)<4

[Ксения Цочева]

Let a,b and c be the lenghts of the sides of a triangle. Suppose that [tex]ab+bc+ac=1.[/tex] Show that [tex](a+1)(b+1)(c+1)<4[/tex]

[kucheto]

Б.О.О. [tex]a\ge b\ge c[/tex]. Очевидно [tex]b<1\ (ab<1)[/tex]. Ще докажем, че [tex]a<1.[/tex]

[tex]c=\frac{1-ab}{a+b},\ b+c>a\Leftrightarrow (a+b)b+1-ab-a(a+b)>0\Leftrightarrow a^2+ab-b^2-1<0[/tex]
Разглеждаме горното като квадратна функция на [tex]a,\ f(a)[/tex] очевидно е растяща. Ако [tex]a\ge 1[/tex], то
[tex]f(a)\ge f(1)=b-b^2>0\ (b<1)[/tex], противоречие. Следователно [tex]a<1.[/tex]

[tex](a+1)(b+1)(c+1)=a+b+c+abc+ab+bc+ca+1=a+b+c+abc+2[/tex]
[tex]a+b+c+abc+2<4\Leftrightarrow a+b+\frac{1-ab}{a+b}+ab\frac{1-ab}{a+b}<2\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab+1-a^2b^2<2a+2b\\\Leftrightarrow (1-a)(1-b)(a+b+ab-1)>0\Leftrightarrow a+b+ab>ac+bc+ab=1.[/tex]

Доказателството е завършено.