Геометрично неравенство 1

[ganka simeonova]

Да се докаже, че ако ъглополовящите на триъгълник са по-малки от [tex]1[/tex], то лицето му е по-малко от [tex]\frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex]

[martin123456]

Допускаме, че [tex]S \ge \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]. Ясно, че [tex]h_a \le l_a < 1[/tex]. Значи [tex]\frac{
sqrt{3}}{3} \le S=\frac{ah_a}{2} <\frac{a}{2} \Rightarrow a>\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex]. Без ограничение, считаме че [tex]\alpha\ge \frac{\pi}{3}[/tex], понеже поне 1 ъгъл в триъгълник е по-голям или равен на [tex]\frac{\pi}{3}[/tex].
Имаме 2 случая.
(1) [tex]\alpha \in \[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\][/tex].Тогава [tex]h_b=c\sin{\alpha}\ge \frac{2\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=1[/tex], което е невъзможно, понеже височините са по-малки от 1.
(2) [tex]\alpha > \frac{\pi}{2}[/tex]. Като построим [tex]l_b[/tex] се вижда че тя е най-голямата страна при триъгълника с нея и ъгъл A. Значи [tex]c <1[/tex] и значи [tex]S=\frac{ch_c}{2}<\frac{1}{2}<\frac{sqrt{3}}{3}[/tex]. Отново противоречие.

[ganka simeonova]