Периметър

[ganka simeonova]

Два върха на триъгълника, центърът на вписаната му окръжност и ортоцентърът му лежат на една окръжност. Известни са още радиусите на вписаната и описаната окръжности- [tex]r[/tex] и [tex]R[/tex]. Да се намери периметърът на триъгълника.

[Xixibg]

Тъй като все още ми е трудно с чертежите във форума имам молба към Г-жа Симеонова да направи чертеж за да е по-нагледно решението.
Нека [tex]H,I[/tex] са съответно ортоцентъра и центъра на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
Нека точките [tex]A,B,H,I[/tex] лежат на една окръжност и нека [tex]\angle BAC=\alpha ;\angle ABC=\beta ;\angle ACB=\gamma[/tex]
[tex]\angle ABH=180^\circ -90^\circ -\angle BAC=90^\circ -\alpha ;\angle HAB=180^\circ -90^\circ -\angle ABC=90^\circ -\beta[/tex]
[tex]=>\angle AHB=180^\circ -\angle HAB-\angle HBA=180^-(\circ-90^\circ -\alpha)-(90^\circ -\beta)=\alpha+\beta[/tex] (1)
[tex]AI,BI[/tex] - ъглополовящи [tex]=>\angle IAB=\frac{1}{2}\angle BAC= \frac{\alpha}{2};\angle IBA=\frac{1}{2}\angle ABC= \frac{\beta}{2}[/tex]
[tex]=>\angle AIB=180^\circ -\angle IAB-\angle IBA=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}[/tex] (2)
[tex]\angle AIB=\angle AHB=\frac{1}{2}{\stackrel{\frown}{AB}[/tex]
[tex](1),(2)=>\alpha+\beta=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2} ; =>\alpha+\beta=120^\circ[/tex]
[tex]=>\gamma =180^\circ -(\alpha+\beta)=180^\circ -120^\circ =60^\circ[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] Синусова теорема:
[tex]\frac{AB}{sin\gamma}=2R ; =>AB=c=2Rsin 60^\circ = R\sqrt{3}[/tex]
Нека [tex]r=IB_1 ; IB_1\bot AC ; B_1\in AC[/tex]
[tex]B_1C=p-c[/tex] (Свойства на допирателните )
[tex]\frac{IB_1}{B_1C}=tg {\frac{\gamma }{2}}[/tex]
[tex]=>\frac{r}{p-c}=tg 30^\circ ; =>p-c=\frac{r}{tg 30^\circ }[/tex]
[tex]=>p=\frac{r}{tg 30^\circ }+c=r\sqrt{3}+R\sqrt{3}[/tex]
[tex]=>P=2\sqrt{3}(r+R)[/tex]

[ganka simeonova]

Много добро решение Хихи Моето е малко по-синтетично без много тригонометрия. Ползвам, че [tex]CK=2r+R[/tex] и че тези точки лежат на окр. с център К. ( това се доказва тривиално). После от К пускам перпендикуляри към страните, които са равни и се получава, че [tex]a+b=CK\sqrt{3}[/tex] На чережа построих и твоята точка В1