2 геометрични задачи

[jivko7]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с основа AB. Точката P ∈AB е такава, че
AP=2 PB. Точката Q от отсечката CP е такава, че ∢AQP=∢ACB. Да се докаже, че
∢PQB е равен на половината от ъгъл ACB.

[admin]

Още една задача от същия потребител:
Даден е четириъгълник ABCD, описан около окръжност с център I. От върха A са
издигнати перпендикуляри към страните AB и AD, които пресичат правите BI и DI съответно
в точките M и N. Да се докаже, че правите MN и AC са перпендикулярни.

[jivko7]

Да се намерят естествените числа n, за които n^4 − 4*n^3 + 22*n^2 − 36*n + 18 е точен квадрат.

[jivko7]

Нека x1, x2, x3 и x4 са различни от нула реални числа такива, че x1 + x2 + x3 + x4=2, 1/ x1 + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4=2. Да се докаже, че ако никое от числата x1, x2, x3 и x4 не е равно на 1, то 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + 1/(1-x3) + 1/(1-x4)=2

[ins-]

Много добри задачи. Странно защо никой не пуска решения. Ако ми остане време ще порешавам. Благодаря!

[Xixibg]

Да се намерят естествените числа n, за които n^4 − 4*n^3 + 22*n^2 − 36*n + 18 е точен квадрат.

[tex]n=1[/tex]
[tex]n=3[/tex]

[ins-]

Нека x1, x2, x3 и x4 са различни от нула реални числа такива, че x1 + x2 + x3 + x4=2, 1/ x1 + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4=2. Да се докаже, че ако никое от числата x1, x2, x3 и x4 не е равно на 1, то 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + 1/(1-x3) + 1/(1-x4)=2

Жалко, че нямам повече време ... задачката е красива и става относително лесно. Начинът, по който я реших е: изразяваме x1+x2 и x1x2 чрез x3 и x4 а оттам и 1/(1-x1)+1/(1-x2) чрез x3 и x4, заместваме в последното равенство и получаваме тъждество.
Интересно ми е по какви други начини би могла да се реши и какви обобщения би могла да претърпи ... например "какво става, ако променим броят на неизвестните и/или стойностите на константите?"
Откъде е взета задачата?

[inveidar]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с основа AB. Точката P ∈AB е такава, че
AP=2 PB. Точката Q от отсечката CP е такава, че ∢AQP=∢ACB. Да се докаже, че
∢PQB е равен на половината от ъгъл ACB.

Упътване за остроъгълен триъгълник АВС: Постройте права през медицентъра на АВС, която пресича АС в точка М. След това продължете МQ до пресичането и с ВС в точка N и докажете, че продължението на АО(О е центъра на описаната около АВС окръжност) пресича ВС отново в N. Междувременно ще ви се наложи и да докажете, че четириъгълниците АРQМ и АВNQ са вписани. Успех.

[inveidar]

Задача, която следва от моето решение на предишната: През медицентъра на равнобедрения, остроъгълен триъгълник АВС е построена права, успоредна на ВС, която пресича АС в точка М и АВ в точка Р. Лъчът АО(О е център на описаната около АВС окръжност) пресича страната ВС в точка N. Ако СР пресича MN в точка Q, да се докаже, че [tex]\angle AQP=\angle ACB[/tex] и [tex]\angle BQP=\frac{1}{ 2} \angle ACB[/tex].

Няма да е учудващо, ако се окаже, че не е вярна! Все пак залагам за вярна.
Между другото, да попитам Живко откъде я взе предишната задача, защото тази, дето аз написах ми се струва по-яка и ако се окаже, че е оригинална първата, то може да я предложим за някъде.

[jivko7]

Петите на височините на триъгълника ABC служат за върхове на триъгълник с
периметър 2p. Да се намери лицето на триъгълника ABC чрез p и R, ако радиусът на описаната му
окръжност е R.

[jivko7]

Даден е триъгълник ABC (AB>BC), в който BM и BL (M, L∈AC) са
съответно медиана и ъглополовяща от върха B. Нека правата през M, успоредна на AB,
пресича BL в точка D, а правата през L, успоредна на BC, пресича BM в точка E. Да се
докаже, че DE ⊥BL.

[ganka simeonova]

Ако означим височините с [tex]AA_1; BB_1; CC_1=>\Delta A_1B_1C; \Delta B_1C_1A; \Delta A_1C_1B;[/tex]са подобни на дадения, с коеф. на подобие съответно косинусът на общия им ъгъл. Тогава:
[tex]2p=a cos \alpha +bcos\beta +ccos\gamma =R(sin2\alpha +sin2\beta +sin2\gamma )=4Rsin\alpha sin\beta sin\gamma[/tex]=>
[tex]sin\alpha sin\beta sin\gamma =\frac{p}{2R }[/tex]
[tex]S=2R^2sin\alpha sin\beta sin\gamma =pR[/tex]

[ganka simeonova]

Даден е триъгълник ABC (AB>BC), в който BM и BL (M, L∈AC) са
съответно медиана и ъглополовяща от върха B. Нека правата през M, успоредна на AB,
пресича BL в точка D, а правата през L, успоредна на BC, пресича BM в точка E. Да се
докаже, че DE ⊥BL.

Построяваме през С права, [tex]\bot BL[/tex], която пресича ъглополовящата в т.[tex]D_1[/tex],а [tex]AB[/tex] в точка[tex]C_1[/tex]=>
[tex]CD_1=D_1C_1=>\frac{CM}{ MA} =\frac{CD_1}{D_1C_1 } =1=>MD_1||AB=>D\equiv D_1[/tex]
Нека т.Е е пресечна точка на [tex]BM; CC_1=>ED\bot LB[/tex]. Тогава ,за да се изпълни условието на задачата, трябва да док, че [tex]LE||BC[/tex]
При стандартни означения за страните на триъгълника =>
[tex]\frac{DE}{ C_1E} =\frac{c-a}{ 2a} ; \frac{CD-DE}{ DE} =\frac{2a}{ c-a} =>\frac{CD}{DE } =\frac{a+c}{ c-a}[/tex](1)

[tex]\frac{LB}{ LD} =\frac{2c}{ c-a} =>\frac{LD+DB}{ LD} =\frac{2c}{c-a } =>\frac{DB}{LD } =\frac{a+c}{ c-a}[/tex](2)

(1)+(2)=>[tex]LE||CB[/tex]