Логаритмично уравнение

[xexe]

Да се реши уравнението

[tex]log_{2\sqrt{2+\sqrt{3} } }(x^{2}-2x-2)=log_{2+\sqrt{3} }(x^{2}-2x-3)[/tex].

[ammornil]

[tex]log_{_{2.\sqrt{2+\sqrt{3}}}}(x^{2}-2.x-2)=log_{_{2+\sqrt{3}}}(x^{2}-2.x-3)[/tex]

ДМ: [tex]\left|x^{2}-2.x-2>0 \\ x^{2}-2.x-3> 0\right, \Rightarrow \left|(x-1+\sqrt{3}).(x-1-\sqrt{3})>0 \\ (x+1).(x-3)> 0 \right,[/tex] [tex]\Rightarrow x \in (-\infty;-1) \cup (3;+\infty)[/tex]

[tex]log_{_{2.\sqrt{2+\sqrt{3}}}}(x^{2}-2.x-2)=log_{_{2+\sqrt{3}}}(x^{2}-2.x-3)[/tex]

[tex]\frac{log_{_{2+\sqrt{3}}}(x^{2}-2.x-2)}{log_{_{2+\sqrt{3}}}2.\sqrt{2+\sqrt{3}}}=log_{_{2+\sqrt{3}}}(x^{2}-2.x-3)[/tex]

и тук това "-3" в аргумента на десния логаритъм ми убива идеята... Ако беше "-2" става много приятна задача, но така не ми изглежда решима... Някакви идеи някой?

[ganka simeonova]

Аз ще се пробвам с идея, но не ми се смейте много
Да положим [tex]log_{_{2.\sqrt{2+\sqrt{3}}}}(x^{2}-2.x-2)=log_{_{2+\sqrt{3}}}(x^{2}-2.x-3)=t[/tex]=>
[tex](2.\sqrt{2+\sqrt{3}})^t=x^2-2x-2; (2+\sqrt{3})^t=x^2-2x-3[/tex] Изваждаме от първото второто равенство. =>
[tex](2.\sqrt{2+\sqrt{3}})^t-(2+\sqrt{3})^t=1[/tex]. Едно очевидно решение е [tex]t=2[/tex]. Ще докажем, че е единствено.Да преобразуваме:

[tex](2.\sqrt{2+\sqrt{3}})^t=(2+\sqrt{3})^t+1[/tex]. Делим почленно двете старни на лявата.=>

[tex]1=(\frac{1}{ 2.\sqrt{2+\sqrt{3}}} )^t+(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3} } }{2 } )^t[/tex]. Т.к. дясната страна е изградена от сбор на две показателни функции с основи <1=> тази страна е намаляваща функция. Лявата е константа и двете имат една обща точка=> уравнението единствено решение, което видяхме, че е за [tex]t=2[/tex]=>
[tex](2+\sqrt{3})^2=x^2-2x-3[/tex] Остава да се реши, което не е сложно, защото е квадратно уравнение и да се види, кои от решенията са от ДМ.

[ammornil]

Благодаря, това бях го забравил като метод