n вектора, МО Румъния 1990

[drago]

В равнината са дадени векторите [tex]v_1,v_2,\cdots,v_n[/tex] , всеки с дължина най-много [tex]1[/tex], [tex]|v_i| \leq 1[/tex].
Да се докаже, че могат да се изберат числа [tex]e_1, e_2,\cdots,e_n[/tex], всяко или [tex]1[/tex] или [tex]-1[/tex], [tex]e_i \in \{1,-1\}[/tex], така че:

[tex]|e_1.v_1+e_2.v_2+\cdots+e_m.v_m| \leq 2,\, m=1,2,\cdots,n[/tex].


Заб. В оригинала задачата беше с комплексни числа, вместо вектори. Явно в Румъния това влиза в средното образование. Тъй като задачата е по-скоро комбинаторно-геометрична и не се използва нищо друго освен дефиницията за събиране на комплексни числа (вектори) я написах в този вид.

[grav]

Dai upytvane.

[drago]

ОК
Ключов момент е следното твърдение:
За всеки три вектора с дължини по-малки от 1 може така да сложиш пред тях "+" или "-", че като ги събереш след това да се получи пак вектор с дължина по-малка от 1.

[drago]

Опс, тук малко съм объркал.
Има малка разлика, твърдението, което решава задачата е друго:
От всеки три вектора с дължина не повече от единица може да изберем два, да им сложим отпред "+" или "-" и след като ги съберем с тези знаци да получим вектор с дължина не повече от 1.

[grav]

А, това вече помага.

[drago]

Това първото, което съм го написал помага повече, в смисъл, че ако беше вярно, нататък е много по-лесно. За съжаление обаче не е вярно.
Вземи 3 вектора, 1-вия нулев, 2-рия произволен с дължина 1, 3-тия- перпендикулярен на 2-рия, с дължина 1.
Както и да комбинираш пред тях "+" и "-" сбора винаги ще има дължина [tex]\sqrt{2}[/tex].

[drago]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=463339