Интересна система

[atnast]

Да се реши системата: [tex]\begin{tabular}{|l}2x+x^{2}y=y\\2y+y^{2}z=z\\2z+z^{2}x=x \end{tabular}[/tex]

[mkmarinov]

[tex]x=tgu, y=tgv, z=tgw[/tex], като [tex]u,v,w \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/tex], а самата система става еквивалентна на
[tex]tgv=tg2u, tgw=tg2v, tgu=tg2w[/tex], но в този интервал тангенсът е биекция => [tex]v=2u=4w=8v=0[/tex]

Ако тангенсите не са дефинирани (за да получим горното тъждество делим на [tex]1-x^2[/tex]), предполагаме, че едно от числата е по модул 1. БОО [tex]x^2=1[/tex]
[tex]\pm 2 =0[/tex], което не е възможно.

[ins-]

http://imomath.com/othercomp/Bul/BulMO371.pdf - 2 b). В една от книгите, посветена на НОМ е казано, че системата има реални решения и е посочено кои са точно.

[atnast]

Да, има си реални решения. Като сме положили [tex]x=tgu[/tex](само трябва да се вметне, че [tex]u\in (-\frac{\pi }{2 };\frac{\pi }{2 }))[/tex] системата е еквивалентна на [tex]y=tg2u;z=tg4u;x=tg8u[/tex]. Следователно [tex]tgu=tg8u <=> u=\frac{k\pi}{7}[/tex]. Понеже [tex]u\in (-\frac{\pi }{2 };\frac{\pi }{2 })[/tex] имаме, че възможните стойности на [tex]k[/tex] са [tex]0;\pm 1;\pm 2;\pm 3[/tex]. Като направим проверка се получава, че всички те дават решения. [tex]x=tg\frac{k\pi}{7};y=tg\frac{2k\pi}{7};z=tg\frac{4k\pi}{7} (k=0;\pm 1;\pm 2;\pm 3)[/tex].