Олимпиада по математика, общински кръг, област Враца

[mkmarinov]

11 клас:
1) Дадена е редицата с общ член [tex]a_n=n^2+n-1[/tex]
а) Да се намерят [tex]a_1, a_7, a_21[/tex]
б) Да се докаже, че числото 239 е член на редицата и да се намери номерът му.
в) Да се докаже, че редицата е растяща.

2) Три положителни числа образуват геометрична прогресия и сумата им е 39. Първото от тях е пети, а второто - осми член на аритметична прогресия, за която сумата на първите девет члена е равна на третото от дадените числа. Да се намерят прогресиите.

3) Даден е квадрат ABCD с дължина на страната 1. Точка е пресечна точка на диагоналите АС и BD, а точка М е от полуравнината, ограничена от АВ, в която не лежи ABCD. Нека МА=а, MC=c и разстоянието от точка М до АС е d. Да се докаже, че:
a)[tex]tg<AMC=\frac{2\sqrt{2}d}{a^2+c^2-2}=\frac{2\sqrt{2}d}{2MO^2-1}[/tex]
б)[tex]tg^2<AMC+tg^2BMD=\frac{8MO^2}{(2MO^2-1)^2}[/tex]

[ins-]

Като гледам темата се сещам за нещо. Преди време госпожа Несторова спомена, че ще издава сборник със задачите от общински кръг на олимпиадата по математика за област Враца. Какво стана с тази идея?