Да се пресметне

[ins-]

Нека [tex]a,b,c,x,y,z[/tex] са реални числа, такива че:
[tex]a+b+c=0[/tex]
[tex]x+y+z=0[/tex]
[tex]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0[/tex]
Да се намери числената стойност на израза:
[tex]ax^2+by^2+cz^2[/tex]

Задачата е достатъчно известна. Ако някой знае други красиви алгебрични задачи - може да ги пусне.

[drago]

С най-тъпата идея- от първото се изразява c, от второто z, замества се в третото и се получава връзка м/у x,y,a,b
Замества се в това, което искаме да докажем и се получава същата връзка. Само сметки, нищо друго!

[tex]x+y+z=0[/tex] => [tex]z=-x-y[/tex]
[tex]a+b+c=0[/tex] =>[tex]c=-a-b[/tex]
[tex]\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}[/tex] <=> [tex]ayz + bxz + cxy=0[/tex]
=>
[tex]ay(-x-y)+bx(-x-y)+(-a-b)xy=0[/tex]
=>
(1) [tex]-2axy -ay^2 -bx^2 -2bxy =0[/tex]

[tex]ax^2+by^2 +cz^2 = 0[/tex] <=>
[tex]ax^2 + by^2 + (-a-b)(x+y)^2 =0[/tex] <=>
[tex]ax^2 + by^2 +(-a-b)(x^2+y^2+2xy)=0[/tex] <=>
(2) [tex]-ay^2-2axy-bx^2-2bxy = 0[/tex]

Но (2) следва от (1)