Пермутация в тригон. сума, IMO Longlist 1983

[drago]

[tex]n[/tex] е число, което се дели на поне 2 различни прости числа. Докажете, че съществува пермутация [tex]a_1,a_2,\cdots,a_n[/tex] на числата [tex]1,2,\cdots,n[/tex] ,така че да е изпълнено:

[tex]\sum_{k=1}^{n}k\cdot\cos\frac{2\pi a_{k}}{n}=0.[/tex]


P.S. Харесвам задачи, които са на границата на различни области, колкото и условно да е това в математиката.
В тази има геометрия, комбинаторика, теория на числата и най-малко ... тригонометрия.

[drago]

Ето и решението:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2013701

Всъщност имах намерение да го преработя малко, за да махна комплексните числа от него. Защото те не са съществената част, просто с тях се смята по-лесно и означенията и записът вървят по-лесно.
Това явно явно няма да стане, поне засега.
Всичко, което трябва да се знае, за да се разбере това решение, е че проекция на единичен вектор в/у права е косинус от ъгъла и че ако завъртим вектори със сума [tex]\vec{0}[/tex], пак ще получим [tex]\vec{0}[/tex].