Геометрия от Международна Олимпиада 1960г.

[gredon]

Предлагам на вниманието ви една интересна задача, давана на МОМ 1960г.
Даден е равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex] с основи [tex]AB = a , CD = b[/tex] и височина [tex]h[/tex].
а) върху оста на симетрия [tex]MN[/tex] на трапеца намерете точка [tex]P[/tex] , от която бедрата на трапеца се виждат под прав ъгъл.
б)пресметнете разстоянието от точката [tex]P[/tex] до една от основите на трапеца.
в)намерете при какви условия може да се построи точка [tex]P[/tex]

Дерзайте, на мен ми отне 2 дни да я реша

[mkmarinov]

Долният форум е за домашни, не този.

[ganka simeonova]

Долният форум е за домашни, не този.

Това беше грубо...

[ganka simeonova]

gredon, задачата е хубава:)

[gredon]

Долният форум е за домашни, не този.

Знаейки решението, не ми се струва , че си я решил толкова бързо . Айде кажи решение като си толкова хитър!

[Xixibg]

[tex]M\in AB , N\in CD[/tex]
[tex]PM=\frac{h\pm \sqrt{h^2-ab}}{2}[/tex]
[tex]P\in MN :h>\sqrt{ab}[/tex]

[gredon]

[tex]M\in AB , N\in CD[/tex]
[tex]PM=\frac{h\pm \sqrt{h^2-ab}}{2}[/tex]
[tex]P\in MN :h>\sqrt{ab}[/tex]

Точно така са отговорите, браво! Постни и решение ако може, аз по-късно ще го напиша с вектори.

[mkmarinov]

Точката Р е някоя измежду пресечните на двете окръжности с диаметър бедрата на трапеца (от дефиницията на "множество от точки, от които отсечка се вижда под прав ъгъл"). Ако се пресичат, се пресичат върху оста на симетрия. Надявам се това е очевидно. Остава да се направят няколко Питагорови теореми и да се получат резултатите в зависимост от положението на точката Р (вътрешна или не за трапеца). Отговорите на Xixibg са за вътрешна точка.

[Xixibg]

Да защото според мен автора е имал предвид точка от отсечката MN.В противен случай подточка в) е безсмислена.
А тук е достатъчно да се използват подобни триъгълници.С Питагорови теореми само се усложнява работата.
Признавам че задачата е доста лесна за МОМ ,но може би 60-те години това е било нивото.

[mkmarinov]

в) не става безсмислена, защото за съществуването на външната точка се изисква съществуването на същия радикал, който се изисква и за вътрешната . Още повече - двете точки са симетрични спрямо средата на оста на симетрия. И външна няма .

[Xixibg]

Ами няма и се доказва елементарно

[mkmarinov]

То няма и нужда да се доказва, достатъчно е чертеж да има .

[gredon]

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki ... /Problem_7

[gredon]

Да защото според мен автора е имал предвид точка от отсечката MN.В противен случай подточка в) е безсмислена.
А тук е достатъчно да се използват подобни триъгълници.С Питагорови теореми само се усложнява работата.
Признавам че задачата е доста лесна за МОМ ,но може би 60-те години това е било нивото.

За подточка в трябва да се каже, че има 2,1 или 0 точки [tex]P[/tex], в зависимост от дискримантата на уравнението за [tex]x[/tex] : [tex]h^2 - ab[/tex]