Геометрия от МОМ 1995. In memoriam...

[drago]

Върху права са взети точките [tex]A, B, C, D[/tex] в тази последователност. Построени са окръжности с диаметри [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex], които се пресичат в [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex]. Правата [tex]XY[/tex] пресича [tex]BC[/tex] в т.[tex]Z[/tex]. Нека [tex]P[/tex] e точка от [tex]XY[/tex], различна от [tex]Z[/tex]. Правата [tex]CP[/tex] пресича окръжността с диаметър [tex]AC[/tex] в [tex]C[/tex] и [tex]M[/tex], а правата [tex]BP[/tex] пресича окръжността с диаметър [tex]BD[/tex] в [tex]B[/tex] и [tex]N[/tex].
Докажете, че правите [tex]AM[/tex], [tex]DN[/tex], [tex]XY[/tex] се пресичат в една точка.

P.S. Може да решите задачата самостоятелно, може и да видите различни решения в нет-а. А знаете ли кой е автора на тази задача, давана на МОМ 1995 ?

[ins-]

гугъл каза: Борислав Михайлов - България
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki ... /Problem_1 - има и решение.
Много добра задача!

[drago]

Да.
Това е ефектно решение, но според мен не е най-естественото. И не вярвам оригиналното решение на Боби Михайлов да е било точно това.

[drago]

Прегледах и няколко други подхода, например тук http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9c#p365179
но за мен най-естествено решение си остава това:

Да допуснем за момент, че сме доказали, следното:

(1) [tex]\frac{ZA}{ZB}=\frac{ZD}{ZC}=k[/tex].

Тогава хомотетията с център [tex]Z[/tex] и коефициент [tex]k[/tex] ще прати височината от [tex]B[/tex] към [tex]PC[/tex] в [tex]AM[/tex], височината от [tex]C[/tex] към [tex]BP[/tex] ще отиде в правата [tex]DN[/tex], a правата [tex]ZP[/tex](височина от [tex]P[/tex] към [tex]BC[/tex]) ще отиде в себе си. Това означава, че [tex]AM, DN, ZP[/tex] се пресичат в една точка, която е образ на ортоцентъра на [tex]\Delta BCP[/tex].

Остава да докажем (1). От правоъгълния тр. [tex]AXC[/tex] имаме [tex]ZA.ZC=ZX^2[/tex]. От правоъгълния тр. [tex]BXD[/tex] имаме [tex]ZB.ZD = ZX^2[/tex]. Това означава [tex]ZA.ZC=ZB.ZD[/tex], от което следва (1).

[ins-]

Решения да иска човек. В IMO Compendium има решения на всички задачи от shortlist-a, а на някои задачи и повече от едно.

[drago]

Няма значение.
Видях някъде из нет-а, че през 1995 България има задача на МОМ и нейния автор е Боби Михайлов и се сетих за него. Просто исках да се сетим за него- тези които го познаваха, а тези които не- чрез неговите задачи!

[ins-]

Инициативата е похвална. Виждал съм негови задачи не само на IMO, а и в различни списания. Преди време Е. Стоянов беше споделил много добър сборник със задачи на Б. Михайлов.