Сходимост на редица

[mkmarinov]

Задачата я пусках и в друга тема, но очевидно мястото ѝ не е там.

Нека [tex]a>1[/tex]. Да се докаже, че редицата
[tex]\sqrt{a}, \sqrt{a-\sqrt{a}}, \sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a}}}, \sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a}}}}, \dots[/tex]
е сходяща и да се намери границата ѝ.

[0xdeadbeef]

[tex]\sqrt{4a-3}[/tex] ?

[mkmarinov]

Не . Задачата не е много лесна.

[drago]

Маринов, да не си се объркал нещо, или аз не разбирам задачата!

(1) [tex]a_{n+1} = \sqrt{a+ (-1)^n a_n}[/tex].

От тук се вижда, че няма как да съществува [tex]\lim_{n\to \infty} a_n[/tex].
Ako пуснем само по четните n в (1) и после по-нечетните ще се получи, че ако горната граница съществува то трябва да е 0, но това пак от (1) няма как да е!!

[mkmarinov]

Писал съм глупости!
Редицата е
[tex]\sqrt{a}, \sqrt{a-\sqrt{a}}, \sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a}}}, \dots[/tex] за а>1. Отново, да се докаже, че е сходяща и да се намери границата ѝ.

[Xixibg]

[tex]\lim_{n\to \infty} a_n=\frac{\sqrt{4a+2-2\sqrt{4a+1}}}{2}[/tex].

[strangerforever]

Не е ли [tex]\frac{\sqrt{4a + 1} - 1}{2}[/tex]

[mkmarinov]

Двата отговора са равни и верни. А доказателство, че редицата е сходяща?

[strangerforever]

Двата отговора са равни и верни. А доказателство, че редицата е сходяща?

Сходяща е, понеже [tex]a^{2^{-n}}[/tex] е ограничена. Herschfeld's convergence theorem.

[mkmarinov]

По-скоро не . Хершфелд говори за различен тип редици.

[mkmarinov]

Все още чакам решение .

[mkmarinov]

Бонус въпрос: ако [tex]x_n[/tex] е общият член, какво можем да кажем за знака на [tex]x_{n+2}-x_n[/tex] ?