Непрекъсн. ф-я, инекция в/у ирацион. числа, IMO Longlist,p29

[drago]

Дадена е непрекъсната функция [tex]f: \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex], за която е известно:
(i) рестрикцията на [tex]f[/tex] върху ирационалните числа е инекция, т.е. за всеки две различни ирационални числа [tex]a,b \, \Rightarrow \, f(a) \neq f(b)[/tex].

Можем ли да твърдим че [tex]f[/tex] e инекция, т.е. за всеки две различни реални числа [tex]a,b \, \Rightarrow \, f(a) \neq f(b)[/tex].
Същият въпрос, само че ако в условието в (i) заменим "ирационални" с "рационални".

[mkmarinov]

По първото условие, да.
Нека предположим, че съществуват числа [tex]p,q \in \mathbb{R}: f(p)=f(q)[/tex]. Избираме [tex]0<\epsilon<\frac{|p-q|}{2}[/tex] такова, че [tex]p-\epsilon, p+\epsilon, q-\epsilon, q+\epsilon \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}[/tex]. Тогава, от непрекъснатостта на [tex]f[/tex] следва:
[tex]\forall x \in (f(p-\epsilon), f(p+\epsilon)) \exists r \in (p-\epsilon, p+\epsilon): f(r)=x[/tex]
[tex]\forall y \in (f(q-\epsilon), f(q+\epsilon)) \exists r \in (q-\epsilon, q+\epsilon): f(r)=y[/tex]
От това, че [tex]f[/tex] е инекция над ирационалните числа следва, че интервалите съществуват и не са празни.
Взимаме сечението [tex]S=(f(p-\epsilon), f(p+\epsilon)) \cap (f(q-\epsilon), f(q+\epsilon))[/tex]. То е неизброимо множетво. От горните две знаем, че
[tex]\forall x \in S \exists r \in (p-\epsilon, p+\epsilon) : f(r)=x[/tex]
[tex]\forall x \in S \exists r \in (q-\epsilon, q+\epsilon) : f(r)=x[/tex]
Тъй като двата интервала за r не се пресичат, можем да заключим, че за всяко х от S съществуват поне 2 различни числа r такива, че [tex]f(r)=x[/tex], откъдето f не е инекция върху неизброимо много числа - което противоречи на условието.

[drago]

...Тъй като двата интервала за r не се пресичат, можем да заключим, че за всяко х от S съществуват поне 2 различни числа r такива, че [tex]f(r)=x[/tex], откъдето f не е инекция върху неизброимо много числа - което противоречи на условието.

Tова подчертаното не го разбирам!

[mkmarinov]

От това, че f е инекция над ирационалните и дефинирана над реалните следва, че числата, над които тя не е инекция, са някакво подмножество на рационалните и са изброимо много. Но горе намерихме неизброимо множество, над което f не е инекция. А неизброимите множества са "по-големи" от изброимите.

[drago]

Разбирам, макар че трябва да се поизчисти малко. Защото инекция не е свойство на дадена точка. Т.е. не може да се каже, че f не е инекция в дадена точка. Свойството инекция се опира на съпоставяне на значенията в 2 точки.

Моето решение: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=397388

[mkmarinov]

Може да съм се изразил неясно - имах предвид, че над множеството [tex](p-\epsilon, p+\epsilon) \cup (q-\epsilon, q+\epsilon)[/tex] f не е инекция.