Хубава и лесна 9 - 10 клас

[gredon]

Нека [tex]x_1 , x_2[/tex] са корени на уравнението [tex]x^2 - 8x + 1 =0[/tex] Да се докаже, че за всяко естествено [tex]n[/tex] числата [tex]a_n = x^n_1 + x^n_2[/tex] не се делят на седем.
П.С. Давана е на Пролетния математически турнир Казанлък през ... 1977г.

[gredon]

Няма ли някой да се пробва? Скоро ще постна решението.

[mkmarinov]

Нека [tex]b_n=a_n(mod 7)[/tex]
От [tex]a_{n+1}=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}=(x_1+x_2)(x_1^n+x_2^n)-x_1x_2(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})=\\=8(x_1^n+x_2^n)-(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})=8a_n-a_{n-1}[/tex]
следва, че
[tex]b_{n+1}=b_n-b_{n-1}[/tex]
[tex]b_0=2, b_1=1, b_2=-1, b_3=-2, b_4=-1, b_5=1,\\ b_6=2, b_7=1[/tex]
Откъдето редицата [tex]b_n[/tex] е периодична и приема всичките си различни стойности за [tex]0 \le n \le 5[/tex], но нито една от тях не е 0 => [tex]b_n \ne 0 \forall n \in \mathbb{N}[/tex]

[gredon]

Ето решението без използване на теория за редици (задачата е за 9-10 клас, все пак). :
Лесно намираме зависимост за [tex]a_n[/tex] примерно като мкмаринов:
[tex]a_n = 8a_{n-1} - a_{n-2}[/tex]
сега имаме [tex]a_{n-1} = 8a_{n-2} - a_{n-3}[/tex]
заместваме в най-горното и след разкриване на скобите имаме:
[tex]a_n = 8(8a_{n-2} - a_{n-3}) - a_{n-2} = 63a_{n-2} - 7a_{n-3} - a_{n-3}[/tex]
Виждаме, че [tex]a_1 = 8[/tex] не се дели на 7 следователно [tex]a_4, a_7 ...[/tex] не се делят на 7.
Аналогично за [tex]a_2 , a_3[/tex] и твърдението е доказано по индукция.

[Xixibg]

Индукция в кой клас се учи?
Все пак това е задача за 9-10 клас

[mkmarinov]

Индукция в кой клас се учи?

5? 8? 11? В университета?
Зависи от училището и учителите. Ние я взимахме (естествено, най-основните неща) в осми клас, предполагам, че е нормално 9 и 10 клас МГ да имат някакво понятие какво е индукция.