Диофантово уравнение

[gredon]

Да се намерят всички естествени числа [tex]x , y[/tex] , които удовлетворяват уравнението [tex]x^y = y^x[/tex]

[d3d]

очевидно x = y

[mkmarinov]

БОО [tex]x\le y[/tex].
Ако предположим, че [tex]x=0[/tex] (тогава [tex]y>0[/tex], защото [tex]0^0[/tex] е недефинирано в този случай), получаваме [tex]0=y^0=1[/tex], което не е решение => [tex]x,y \ne 0[/tex].
Нека [tex]r[/tex] е произволен делител на х.
[tex]r^y | y^x[/tex] => [tex]r^x | y^x[/tex] => [tex]r|y[/tex].
Получихме, че всички делители на х делят у => [tex]x|y[/tex] => [tex]y=kx[/tex]
[tex]x^{kx}=x^x[/tex]
[tex]kx=x[/tex]
Откъдето [tex]x=y[/tex] е единствено решение.

[Xixibg]

Вторият ред е излишен .[tex]x,y[/tex] са естествени по условие

[kucheto]

Вторият ред е излишен .[tex]x,y[/tex] са естествени по условие

То горе-долу всичко е излишно. Доколкото знам [tex]2^4=4^2[/tex], което никой не го е споменал... Не знам откъде стигнахте до заключението, че [tex]x^{kx}=x^x[/tex], като трябва да е [tex]x^{kx}=(kx)^x[/tex]

[gredon]

Според мен не е лесно да се докаже, че освен [tex]x = y , x = 2, y = 4[/tex] няма други решения. Аз самият нямам решението, но задачата ми се стори интересна, а и досега никъде в интернет не срещнах ясно и точно решение.

[gredon]

БОО [tex]x\le y[/tex].
Ако предположим, че [tex]x=0[/tex] (тогава [tex]y>0[/tex], защото [tex]0^0[/tex] е недефинирано в този случай), получаваме [tex]0=y^0=1[/tex], което не е решение => [tex]x,y \ne 0[/tex].
Нека [tex]r[/tex] е произволен делител на х.
[tex]r^y | y^x[/tex] => [tex]r^x | y^x[/tex] => [tex]r|y[/tex].
Получихме, че всички делители на х делят у => [tex]x|y[/tex] => [tex]y=kx[/tex]
[tex]x^{kx}=x^x[/tex]
[tex]kx=x[/tex]
Откъдето [tex]x=y[/tex] е единствено решение.

Това не е много вярно. Ти всъщност на предпоследния ред си заместил грешно, като сам си положил, че [tex]x = y[/tex] и логично си получил същото, като така се изпускат решения. Както писа кучето, правилното заместване е:
[tex]x^{kx} = (kx)^x[/tex]

[mkmarinov]

Xixibg, че нулата си е естествено число.
Куче, изпуснал съм едно k. Това е начинът, по който сме "стигнали" до горното равенство.
Нека продължим от последното вярно нещо, т.е.
[tex]x^{kx}=(kx)^x[/tex]
[tex]x^{k-1}=k[/tex], т.к. [tex]x \ne 0[/tex]
Добре известно неравенство е [tex]3^{k-1} \ge k[/tex] (може да се докаже по индукция). Равенство се достига за [tex]k=1[/tex] (x=y, което е вече разгледано). Ако [tex]x>3, x^{k-1}\ge 3^{k-1}\ge k[/tex], откъдето получаваме, че други решения за [tex]x \ge 3[/tex] нямаме. Нека [tex]x=2[/tex]:
[tex]2^{k-1}=k[/tex]. С елементарен анализ се доказва, че това уравнение има не повече от 2 корена. Те са [tex]k=1, k=2[/tex]. При [tex]x=2, k=2: y=4[/tex], откъдето излиза и другото решение.

[inveidar]

Нулата в България не е естествено число. Учи се в училище.

[mkmarinov]

Много глупости също се учат в училище!

[grav]

Нулата в България не е естествено число. Учи се в училище.

И България е българското училище. Защото в университетите се учи, че нулата е естествено число.

Естествено, това е въпрос на конвенция. Ако някой е толкова педантичен, да си формулира задачите недвусмислено. Не е трудно да се каже положително цяло число, или неотрицателно цяло число.

[Xixibg]

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D1% ... 0%BB%D0%BE

[grav]

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D1%81%D1%82%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

Това е малоумна статия. Погледни аксиомите на Пеано, първата пише, че е "0 не е естествено число". Що за простотия!!! Предполагам, че е лош и тенденциозен превод. Погледни английската страница.

http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

[inveidar]

http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html
Защо спорите? На състезания и олимпиади се използват определенията, които се учат в училище. На кандидатстудентски изпити - също. Нулата не е естествено число в училищната математика, а задачата е точно от този раздел. Вие във висшите учебни заведения се правете на интересни колкото си искате - ваша си работа!

[mkmarinov]

Ако изключиш нулата можеш да се опариш много по-жестоко, отколкото ако я включиш! Добра практика е да се пита автора, като това, че може да е включил нулата, винаги да се има предвид.
В задачите за делимости (които според някои са единствените задачи, използващи естествени числа) включването на 0 в повечето случаи води до нещо недефинирано - което не се отразява по никакъв начин на цялата задача.
В комбинаториката нулата има смисъл. А комбинаторика, дори и малко, се изучава в училище. И се дава доста на ученически състезания.
За КС изпити не бих бил толкова сигурен, защото задачите ги дават точно тези, които се правят на интересни!

И, нека завърша с една малка задачка, на която изгоряха много хора . Задачата не я давам за решаване, а като пример защо трябва да сме винаги нащрек за нулата. Релации май се учеха в училище.
Нека [tex]R \subseteq \mathbb{N}^2[/tex] и [tex](a,b) \in R <=> \exists k \in \mathbb{N} : ab=k^2[/tex]. Да се определи дали R е транзитивна/симетрична/рефлексивна. Да се определи дали R е релация на еквивалентност/частична наредба.

[inveidar]

Виж и тук - http://manev.net/edu/NumbTh.html
и тук - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0% ... 0%BB%D0%BE
И стига сте обърквали учениците! В България и Русия естествените числа са 1,2,3,...!

[mkmarinov]

Просто казвам, че (вече) не е общоприето! Както и Драго каза, най-добре е авторите да поясняват и учениците да питат. Защото, да, в България има хора, измежду тях и автори на задачи, които твърдят, че естествените числа започват от 0!

[Xixibg]

Да така е.
В България и в много други страни нула не е естествено число.Дали ти харесва или не няма значение.Радвам се че имаш самочувствие и увереност за нещата които коментираш , но според мен трябваше да реагираш малко по-умерено с да речем "разглеждам нулата като естествено число ,защото на някои места включват нулата в множеството на естествените числа"

В България общоприето е това което пише в учебниците и всеки автор на задачи трябва да се съобразява с това.Когато става въпрос за международни изяви то при превода на съответният език се уточнява кое по какъв начин е означено при евентуално двусмислие.
А по въпроса много хора твърдят и че едно е просто число.....Трябва ли да им вярвам?

[gredon]

Мисля, че темата за задачата се измести напълно от спора дали 0 е естествено число . Иначе аз вече се съгласих с решението на мкмаринов, много кратко, ясно, точно.

[mkmarinov]

За това дали единицата е просто число, съмнявам се да има достоверен източник, който да го твърди. Това е по-скоро въпрос на конвенция - дори и да приемем, че единицата е просто число, ще получим еквивалентна теория на числата, в която теоремите ще бъдат малко по-сложни и малко по-дълги (на някои места вместо [tex]\mathbb{P}[/tex] ще ползваме [tex]\mathbb{P} \backslash \{1\}[/tex]).

По подобен начин седи и въпроса с нулата. В ТЧ е удобно нулата да не е естествено число. В комбинаториката и ТМ е удобно нулата да е естествено число. Щом водим този спор е ясно, че не всеки автор на задачи (и учебници) се съобразява с общото мнение. Затова казвам, че е добре да се пояснява, а ако не е пояснено - решаващият да знае да пита.

[grav]

Дали нулата е или не е, естествно число е въпрос на конвенция. Това не е чак толкова трудно за разбиране, дори и от ученици. Догматичното и авторитетно настояване, че не е, е това което обърква учениците, и е доста непедагогично.

Как е възможно хора, които се смятат за метематици, да са толкова ригидни!

[Xixibg]

Ще вземе някой шестокласник да напише в училище че нула е естествено число ,защото чел в някакъв форум.Учителката ще му плесне една двойка и после ще ви пратя вие да му я поправяте.Съобразявайте се малко и не обърквайте още повече и без това обърканите ученици.

[mkmarinov]

Учителската некомпетентност и тесногръдие са нерядко срещани явления, за които отговорност не може да носи никой освен самият учител.
Ако учителят изрично е казал, че държи да се използва едната конвенция, е в пълното си право да пише двойка. Тогава, разбира се, е длъжен да обясни, че съществуват и други конвенции и че от тях избира точно тази по обективни или субективни причини. Но ако "плесне" двойка на някой ученик защото не се съгласява с изгледите му, той не е никакъв учител и заслужава съответното наказание. "В България", естествено, никой няма да му каже нищо.

[inveidar]

Като чета последните две изказвания просто недоумявам що за конвенции и глупости ви тресат, бе, хора?! По определение(Конвенция?!) се приема, че естествените числа са 1,2,3,.... Край! Това е. Ако има въпроси от страна на учениците защо е така, това е друга тема. Ми то определенията за какво са, ако всеки като вас започне да ги оспорва?! Тогава вие ще кажете, че и успоредникът е трапец, нали? И кой знае още какво. И ако учениците ви слушат вас, то те не трябва да решават задачите от сборниците, защото преди това трябва да питат автора какво е имал на ум, така ли? Айде, моля ви се, спрете с глупостите и престанетет да обиждате учителите за щяло и нещяло. Ще приемем по конвенция, че сте супер интелигентни и знаещи, а вие ще престанете да се перчите за щяло и нещяло, става ли?

[mkmarinov]

Конвенция, защото ако беше определение, щеше във всички учебници да е еднакво/еквивалентно. А очевидно не е!
Но типично по учителски, всеки с различно мнение е определен като правещ се на интересен, а аргументите му по подразбиране са "глупости".