Правоъгълници и квадрати, Турнир на градовете, 20??г.

[drago]

а) Дадена е безкрайна редица от правоъгълници [tex]R_n[/tex] в равнината, като лицето на [tex]R_n[/tex] е [tex]n^2[/tex].
Mоже ли да се твърди, че можем така да ги разположим, че да покрият равнината.

b) Дадена е безкрайна редица от квадрати в равнината, такава че за всяко [tex]M \in \mathbb{N}[/tex], съществуват краен брой от тях със сума от лицата по-голяма от [tex]M[/tex].
Може ли да се твърди, че можем така да разположим тези квадрати, че да покрият равнината.

[drago]

Жокер по а).
Отговорът е НЕ. Идеята за построяването на пример на такава редица правоъгълници е, че можем да ги правим много, много тесни (за сметка на това пък че трябва да са много дълги).
Примерно [tex]R_n[/tex] може да има размери [tex]\frac{1}{2^n}[/tex] X [tex]n^2 \cdot 2^n[/tex]. Остава да се докаже, че те не могат да покрият равнината.

[drago]

Ето и едно решение:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &t=470340&

По-трудната част е б). Хареса ми защото задачата изисква прилагане на техники от различни области- комбинаторика, геометрия, анализ(редове), неравенства.