Още едно диофантово 2^x.3^y + 1 = 17 ^z

[gredon]

Предлагам ви друго диофантово уравнение
Да се намерят всички цели неотрицателни числа [tex]x, y , z[/tex] , които удовлетворяват равенството:
[tex]2^x.3^y + 1 = 17 ^z[/tex]

[kucheto]

[tex]2^x.3^y+1=17^z[/tex]

a) [tex]y=0\Rightarrow 2^x=17^z-1[/tex]
ако [tex]z=2k+1\Rightarrow 2^x=17^{2k+1}-1=16\sum_{i=0}^{2k} 17^i=16(2l+1)\Rightarrow l=0,\ k=0,\ z=1,\ x=4[/tex]

ако [tex]z=2k\Rightarrow 2^x=289^k-1\equiv 0(mod\ 3)\Rightarrow[/tex] противоречие


b) [tex]y>0\Rightarrow 3|17^z-1\Rightarrow z=2k\Rightarrow 2^x3^y=(17^k-1)(17^k+1)[/tex]
[tex]17^k+1=2^l3^m\Rightarrow l=1\ (17^k+1\equiv 2(mod\ 4))\Rightarrow 3|17^k+1\Rightarrow k=2m+1[/tex]
[tex]17^k-1=17^{2m+1}-1\equiv 1\ (mod\ 3)\Rightarrow 17^k-1=2^p\Rightarrow k=1,\ z=2,\ p=4,\ l=1,\ x=5,\ y=2[/tex]


Окончателно [tex](x,y,z)=(4,0,1)\ \cup\ (5,2,2)[/tex]