Задача за ГМТ

[estoyanovvd]

Намерете ГМТ в остроъгълен триъгълник АВС (по контура или вътрешността), за които едно от разстоянията им до страна на триъгълника е равно на сбора на разстоянията до другите две страни на триъгълника.

[ubuntu]

Да начертаем ъглополовящите от А,B и C и да означим пресечните им точки със съответните страни с М,N и P.Ясно е , че в М,N и P условието е изпълнено.Сега остава да се отбележи , че щом в двата края на една отсечка едно свойство е в сила , то е вярно за всяка точка от нея.
Честит празник!

[estoyanovvd]

Стига, бе! Какво е това свойство, че за първи път го чувам?! Ти ли го измисли?

[estoyanovvd]

Чакам решение!

[ganka simeonova]

Чакам решение!

Стоянов, след малко ако не ми мине котка лът, ще пусна решение
Много яка задача.

[ganka simeonova]

Емо, преследвам задачата ти няколко дни, като куче- кокал. Хубава е. Аз имам решение и ще го напиша, но ако някъде имам издънка- кажи
Нека петите на ъглополовящите на [tex]\Delta ABC[/tex] образуват [tex]\Delta KLN[/tex].
Ясно е, че точките, K, L, N отговарят на условието и ще са от ГМТ.Ще докажа,ч е от трите разстояния от произволна точка Р от контура на KLN до страните на ABC едното е сума на другите две.
Нека т.Р лежи на NK и [tex]PP_1=x; PP_2=y; PP_3=z[/tex] са разстоянията и до страните на АВС.
Ще докажем, че [tex]x+z=y[/tex]
От N и К спускаме перпендикуляри [tex]NN_1=NN_2=m; KK_1=KK_2=k[/tex] до срещуположните страни на АВС.
Разглеждам две двойки подобни триъгълници:
[tex]\Delta KNN_1; \Delta KPP_1=>\frac{x}{ m} =\frac{PK}{NK }[/tex](1)

[tex]\Delta NKK_1; \Delta NPP_3=>\frac{z}{ k} =\frac{NP}{ NK}[/tex](2)

Събираме (1) и (2)=>[tex]kx+mz=mk[/tex](3)

Правата през К, успоредна на АС също образува подобни триъгълници=> [tex]\frac{y-k}{ m-k} =\frac{PK}{NK }[/tex] (4)

От (4) и (1)=>[tex](y-k)m=(m-k)x[/tex](5)
От (5) и (3)=>[tex]x+z=y[/tex]

Тогава ГМТ са точките от контура на KLN.

[Станислав]

Ubuntu, обясни какво точно си имал впредвид с това свойство. Да не ползваш някакви афинни св-ва?

[Baronov]

Стига, бе! Какво е това свойство, че за първи път го чувам?! Ти ли го измисли?

Всъщност това е добре известно геометрично свойство. Методът се нарича "равномерно движение". Идеята е да си представим, че точка се движи с постоянна скорост върху права линия. Тогава нейната проекция върху друга права, също се движи равномерно, следователно и разстоянието се изменя линейно. Понеже линейната функция от условието е 0 в две точки, то тя е 0 върху цялата права.

Тук даже не ни трябва равномерно движение. Можем да въведем координатна система и просто да отбележим, че разстоянието от точка до фиксирана права е линейна функция на координатите на точката.

Решението на ubuntu е перфектно, всъщност решението на Ганка е същото, тя просто доказва, че разстоянието се изменя линейно по заобиколен начин.

[estoyanovvd]

Сигурно е така, но не виждам да е очевидно, че щом краищата се движат равномерно, то и дължината на отсечката ще се променя линейно. Още повече, че имаме още две отсечки, които би трябвало линейно да се променят с еднаква скорост в различни направления. Явно съм скаран с кинематиката!!! Пък и защо разстоянието да е линейна функция? Къде бих могъл да се запозная с този метод?

[Baronov]

Равномерното движение се използваше доста от Борислав Михайлов. В книгата му "Задачи по "елементарна" геометрия" (елементарна е в кавички в заглавието) има цяла глава за равномерно движение. Има и няколко задачи, решени с теорема за тъждественост на полиноми (фактът, че полином от n-та степен има не повече от n корена). Всъщност равномерното движение използва тази теорема за линейни полиноми.

Иначе за тази задача равномерно движение не ни трябва. Разстоянието от точка до фиксирана права е линейна функция на координатите на точката. Сума/разлика на линейни функции е линейна функция. Не разбирам какво не разбирате!

[estoyanovvd]

Ми то разстоянието не е линейна функция, но няма значение. Просто не разбирам и написах какво в предния пост. Както и да е. Книжката на Борислав Михайлов я имам. Личен подарък от него. Ще потърся този метод там!

[Baronov]

Разстоянието от точка до фиксирана права Е линейна функция!

[estoyanovvd]

Ето и едно друго решение:

[Станислав]

Някаква идея тази книга на Борислав Михайлов къде да я намеря? Няма я в книжарницата в МГ-то, където е преподавал, няма я и в най-голямата книжарница в Пловдив - "Иван Вазов". Някой да знае?

[Baronov]

В МГ-то има книжарница?

Питай някой от учителите по математика дали я има и дали ще ти даде да си я снимаш. Пробвай и в библиотеката (ако се окаже, че МГ-то има и библиотека, пробвай и там).

[Станислав]

Естествено, съм имал предвид библиотека, но не съм се изразил правилно. Благодаря, ама надали някой учител би я имал - ще пробвам при Трупчева. И за да не стане като флудене - има ли някой от форума, пратил материали за УС'10 и на каква тема?

[estoyanovvd]

Някаква идея тази книга на Борислав Михайлов къде да я намеря? Няма я в книжарницата в МГ-то, където е преподавал, няма я и в най-голямата книжарница в Пловдив - "Иван Вазов". Някой да знае?

Аз я имам! Ако се помолиш много, мога да я сканирам и да я кача на моя сайт!

[ganka simeonova]

Аз я имам! Ако се помолиш много, мога да я сканирам и да я кача на моя сайт!

И аз се включвам в молбата

[Станислав]

Някаква идея тази книга на Борислав Михайлов къде да я намеря? Няма я в книжарницата в МГ-то, където е преподавал, няма я и в най-голямата книжарница в Пловдив - "Иван Вазов". Някой да знае?

Аз я имам! Ако се помолиш много, мога да я сканирам и да я кача на моя сайт!

Помолвам се повече от много!

[estoyanovvd]

Хайде от мен да мине!!! Но ако не цъкнете на някоя реклама, няма да видите нищо повече от мен! Три часа загубих за да ви помогна. Книжката, която ви бях обещал - ЦЪК!

[estoyanovvd]

Иначе за тази задача равномерно движение не ни трябва. Разстоянието от точка до фиксирана права е линейна функция на координатите на точката. Сума/разлика на линейни функции е линейна функция. Не разбирам какво не разбирате!

Прочетох материала на Борислав Михайлов и разбрах, че разстоянието е линейна функция на времето, не на координатите на точката. Сега вече всичко ми е ясно!