Вписана окръжност и медиана

[ins-]

Вписаната в триъгълник [tex]ABC[/tex] окръжност [tex]k[/tex] се допира до страните [tex]BC[/tex], [tex]CA[/tex], [tex]AB[/tex] съответно в точките [tex]A_1[/tex], [tex]B_1[/tex], [tex]C_1[/tex]. Да се докаже, че [tex]A_1B_1[/tex], диаметърът на [tex]k[/tex] през [tex]C_1[/tex] и медианата към [tex]AB[/tex] през върха [tex]C[/tex] се пресичат в една точка.

[ganka simeonova]

Тази задача е една огромна синусова теорема ))
Нека [tex]X=A_1B_1\cap CM[/tex]
[tex]\Delta B_1XC=>B_1X=\frac{B_1Csin\varphi }{ sin \angle{B_1XC }} ; \Delta XA_1C=>A_1X=\frac{CA_1sin\delta }{ sin \angle{CXA_1}}[/tex]=>
[tex]\frac{B_1X}{A_1X } =\frac{sin\varphi }{ sin\delta }[/tex]
Аналогично пак от син. т-ми за
[tex]\Delta AMC; \Delta BMC=>\frac{a}{ b} =\frac{sin\varphi }{ sin\delta }=>\frac{B_1X}{ A_1X} =\frac{a}{ b}[/tex](1)
Нека сега [tex]Y=C_1P\cap A_1B_1[/tex]
[tex]\frac{B_1Y}{YA_1 } =\frac{B_1Y}{ IY} .\frac{IY}{ A_1Y}[/tex]
Пак от син. т-ми за [tex]\Delta B_1YI; \Delta A_1YI=>\frac{B_1Y}{YI }=\frac{sin\alpha }{ sin{\frac{\gamma }{ 2}} };\frac{IY}{ A_1Y}=\frac{sin{\frac{\gamma }{ 2}} }{ sin\beta }=>[/tex]=>
[tex]\frac{B_1Y}{YA_1 } =\frac{sin\alpha }{sin\beta } =\frac{a}{b }[/tex](2)
(1)+(2)=>[tex]X\equiv Y[/tex]

[ins-]

Много добро решение. За 6+ е поне. Забелязах го като факт вчера и реших да го пусна. Със сигурност са възможни и още решения. Ето още по материали по темата:
http://dxdy.ru/post553967.html#p553967
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9#p2645589