Окръжност през среди

[inveidar]

Центърът на окръжността, минаваща през средите на страните на неравнобедрения триъгълник АВС, лежи на ъглополовящата на ъгъл ВАС. Намерете мярката на ъгъл ВАС.

[ganka simeonova]

[tex]\angle NPM=\alpha =>\angle NOM=2\alpha[/tex]
[tex]\Delta ANO: \frac{AO}{ sin(90^\circ -\alpha +\gamma )}=\frac{R}{ sin{\frac{\alpha }{ 2} }[/tex]
[tex]\Delta AMO:\frac{AO}{ sin(90^\circ -\alpha +\beta )}=\frac{R}{ sin{\frac{\alpha }{ 2} }[/tex]=>
1)[tex]90^\circ -\alpha +\gamma =90^\circ -\alpha +\beta =>\beta =\gamma[/tex]-противоречие с условието.
2)[tex]90^\circ -\alpha +\gamma =180^\circ -(90^\circ -\alpha +\beta )=>2\alpha =\beta+\gamma =>\alpha=60^\circ[/tex]

[inveidar]

Ъгълът NOM(така, както е означен на чертежа!) не винаги е [tex]2\alpha[/tex]. Тогава какво става?

[ganka simeonova]

Ъгълът NOM(така както е на чертежа означен!) не винаги е [tex]2\alpha[/tex]. Тогава какво става?

Опасявам се, че не те разбрах.

[ganka simeonova]

Имаш предвид, ако е тъпоъгълен, нали

[inveidar]

Искам да кажа, че ако ъгълът при върха А е тъп, то чертежът няма да е такъв и ъгълът NOM ще е с друга мярка. Това променя ли решението?

[ganka simeonova]

Може и да бъркам, но тогава изкарвам противоречие, ако ъгълът е тъп.

[Mr.G{}{}Fy]

Може и да бъркам, но тогава изкарвам противоречие, ако ъгълът е тъп.

И аз така [tex]60^\circ[/tex] ми излиза въпросният ъгъл.

[inveidar]

Така де, но дайте да го видим как се получава противоречието, защото така решението ви е непълно.

[ganka simeonova]

Тогава центърът на окр е извън триъгълника, ъглите малко се променят, но пак като се приложи син.т-ма, се получава 60 градуса. Поне аз толкова получавам

[inveidar]

Тогава центърът на окр е извън триъгълника, ъглите малко се променят, но пак като се приложи син.т-ма, се получава 60 градуса. Поне аз толкова получавам

Което е противоречие с тъпия ъгъл, т.е неможе да е 60 градуса. Би трябвало да се разгледа и когато ъгълът е деветдесет градуса, за да е пълно решението.

[ganka simeonova]

Лелееее, къде ми е умът:) Така е. И при правоъгълен равнобедрен става:) Хубава задача.