Диофантово 10 клас

[gredon]

Да се докаже, че уравнението [tex]x^7 + 92 = y^2[/tex] няма решение в цели числа.

[martin123456]

[tex]92=128-36\Rightarrow x^7+2^7=y^2+6^2[/tex]
Ако [tex]2|y \Rightarrow 2|x \Rightarrow 2^7|(y^2+6^2)[/tex]. Максималната степен на 2 деляща [tex]6^2[/tex] e [tex]2^2[/tex], значи невъзможен случай.
В другия случай гледаме по модул 4 отново и имаме [tex]x^7 \equiv 1 \pmod{4}\Rightarrow x \equiv 1 \pmod{4}[/tex]. Уравнението става
[tex]x^7+2^7=(x+2)(x^6-2x^5+4x^4-8x^3+16x^2-32x+64)=y^2+6^2[/tex]. Имаме [tex]x+2 \equiv 3 \pmod{4}[/tex] и значи [tex](x+2)|(y^2+6^2)[/tex] и значи [tex]\exist p\in \mathbb{P}:p\equiv 3 \pmod{4},\hspace{2mm}p|(x+2)\Rightarrow p|(y^2+6^2)[/tex]. Известно е че тогава [tex]p|y[/tex] и [tex]p|6[/tex]. Значи [tex]p=3[/tex]. Значи [tex]9|(x^7+2^7)[/tex].
Разглеждаме лявата страна по модул 3.
1. [tex]x\equiv 0 \pmod{3}\Rightarrow x+2 \equiv 2 \pmod{3}\Rightarrow x^6-2x^5+4x^4-8x^3+16x^2-32x+64 \equiv 1 \pmod{3}\Rightarrow x^7+2^7 \equiv 2 \pmod{3}[/tex]
2. [tex]x\equiv 1 \pmod{3}\Rightarrow x+2 \equiv 0 \pmod{3}\Rightarrow x^6-2x^5+4x^4-8x^3+16x^2-32x+64 \equiv 1 \pmod{3}\Rightarrow x^7+2^7 \equiv 0 \pmod{3}[/tex]
3. [tex]x\equiv 2 \pmod{3}\Rightarrow x+2 \equiv 1 \pmod{3}\Rightarrow x^6-2x^5+4x^4-8x^3+16x^2-32x+64 \equiv 1 \pmod{3}\Rightarrow x^7+2^7 \equiv 1 \pmod{3}[/tex]
И така устройва ни само случай 2.
Тъй като [tex]\varphi(9)=6\Rightarrow x^7\equiv x \pmod{9}\Rightarrow x^7+2^7\equiv x+2 \pmod{9}[/tex]. Значи [tex]x =9x_1+2 \equiv 2 \pmod{3} \not \equiv 1 \pmod{3}[/tex].
Значи няма решения.